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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.1 - Ex. 44

Calcule a integral

int_2^3 (2 log_2 (x - 1))/(x - 1) d x

Passo 1

Questões como esta, que pede apenas para resolvermos uma integral, começam a se tornar complexas. Vamos colocar todos os conhecimentos aprendidos em prática. Podemos calcular integrais definidas, indefinidas, utilizar regra da substituição, etc. Desta forma, é importante termos um domínio dos assuntos prévios. Sempre que necessário, revisaremos quaisquer conceitos!

Passo 2

Vamos começar por analisar a integral que devemos resolver. Vejamos ela abaixo.

int_2^3 (2 log_2 (x - 1))/(x - 1) d x

Esta é uma integral definida. Vamos resolver inicialmente a integral indefinida associada a ela. Isto é,

int (2 log_2 (x - 1))/(x - 1) d x

Façamos inicialmente uma mudança de variável. Seja u = log_2 (x - 1) , consequentemente, temos d u = (d x)/((x - 1) ln 2) . Portanto, temos:

int (2 log_2 (x - 1))/(x - 1) d x = int 2 ln 2 u d u = 2 ln 2 * int u d u

E agora chegamos a uma função facilmente integrável!

Passo 3

Vamos obter a primitiva da nossa integral. Desta forma, temos:

2 ln 2 * int u d u = 2 ln 2 * (u^2)/(2) + k

Voltando para a variável inicial, temos:

ln 2 * u^2 + k = ln 2 * (log_2 (x - 1))^2 + k

OBS: Cuidado para não esquecerem da constante k , pois estamos resolvendo uma integral indefinida!

Passo 4

Vamos agora resolver a integral definida através do teorema fundamental do cálculo. Portanto, temos:

int_2^3 (2 log_2 (x - 1))/(x - 1) d x = ([ln 2 * (log_2 (x - 1))^2]|_2^3

int_2^3 (2 log_2 (x - 1))/(x - 1) d x = ln 2 * [ (log_2 2)^2 - (log_2 1)^2 ]

int_2^3 (2 log_2 (x - 1))/(x - 1) d x = ln 2 * [ 1 - 0 ]

int_2^3 (2 log_2 (x - 1))/(x - 1) d x = ln 2

Resposta

int_2^3 (2 log_2 (x - 1))/(x - 1) d x = ln 2

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