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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.3 - Ex. 37

Verifique as fórmulas de integração nos Exercícios 37-40.

  1. ∫ sech ⁡ x d x = arctan ⁡ sinh ⁡ x + C
  2. ∫ sech ⁡ x d x = arctan ⁡ sinh ⁡ x + C

Passo 1

Para resolver a letra a.), vamos lembrar de uma coisa:

∫ f x d x = g x → d g x d x = f x

Portanto, vamos derivar a resposta para ver se a integral está correta.

d arctan ⁡ sinh ⁡ x d x = sech ⁡ x ?

Vamos aplicar a regra da cadeia:

d g u d x = d g d u ∙ d u d x

Onde,

g = arc tan ⁡ u

u = s inh ⁡ x

Assim,

d arctan ⁡ sinh ⁡ x d x = d arc tan ⁡ u d u ∙ d sinh ⁡ x d x

Vamos calcular a primeira derivada:

d g d u = d arctan ⁡ u d u = 1 u 2 + 1

Já a segunda derivada:

d u d x = d sinh ⁡ x d x = cosh ⁡ x

Juntando as derivadas calculadas:

d arctan ⁡ sinh ⁡ x d x = d arctan ⁡ u d u ∙ d sinh ⁡ x d x

d arctan ⁡ sinh ⁡ x d x = 1 u 2 + 1 ∙ cosh ⁡ x

Revertendo para a variável original:

d arctan ⁡ sinh ⁡ x d x = 1 sin h 2 ⁡ x + 1 ∙ cosh ⁡ x

Lembrando das relações trigonométricas:

s inh 2 ⁡ x + 1 = cosh 2 ⁡ x

Logo,

d arctan ⁡ sinh ⁡ x d x = 1 cosh 2 ⁡ x ∙ cosh ⁡ x = 1 cosh ⁡ x = sech ⁡ x

Portanto a integral está correta!!!

Passo 2

Já na letra b.), é a mesma integral com outra resposta, portanto temos que provar que:

d arc sin ⁡ tan h ⁡ x d x = sech ⁡ x ?

Vamos aplicar a regra da cadeia:

d g u d x = d g d u ∙ d u d x

Onde,

g = arc sin ⁡ u

u = tan h ⁡ x

Assim,

d arcsin ⁡ tanh ⁡ x d x = d arcsin ⁡ u d u ∙ d tanh ⁡ x d x

Vamos calcular a primeira derivada:

d g d u = d arcsin ⁡ u d u = 1 1 - u 2

Já a segunda derivada:

d u d x = d tan h ⁡ x d x = sec h 2 ⁡ x

Juntando as derivadas calculadas:

d arcsin ⁡ tanh ⁡ x d x = d arcsin ⁡ u d u ∙ d tanh ⁡ x d x

d arcsin ⁡ tanh ⁡ x d x = 1 1 - u 2 ∙ sech 2 ⁡ x

Revertendo para a variável original:

d arcsin ⁡ tanh ⁡ x d x = 1 1 - tanh 2 ⁡ x ∙ sech 2 ⁡ x

Lembrando das relações trigonométricas:

1 - tan h 2 ⁡ x = sec h 2 ⁡ x

Logo,

d arcsin ⁡ tanh ⁡ x d x = 1 sech 2 ⁡ x ∙ sech 2 ⁡ x = 1 sech ⁡ x ∙ sech 2 ⁡ x = sech ⁡ x

Portanto a integral está correta também!!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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