Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

∫ sec 2 ⁡ x 2 tg 7 ⁡ x 2 d x

Passo 1

A boa quando você ver uma função dentro da outra é pensar em substituição, chamando a função de dentro de u !

Aqui no nosso caso temos a composta de x 7 com   tg ⁡ x 2 , então vamos fazer

u = tg ⁡ x 2

Passo 2

Calcular o d u é só derivar a expressão dada e colocar um d x no final:

u = tg ⁡ x 2 → d u = tg ⁡ x 2 ' d x = 1 2 sec 2 ⁡ x 2 d x

Passo 3

Agora é só substituir tudo na integral

∫ sec 2 ⁡ x 2 tg 7 ⁡ x 2 d x

Temos então que

∫ sec 2 ⁡ x 2 u 7 d x

Agora e o resto da integral? O que fazer com ele? Muitas vezes vamos ter que manipular a expressão do d u . Vem comigo

d u = 1 2 sec 2 ⁡ x 2 d x → 2 d u = 2 1 2 sec 2 ⁡ x 2 d x → 2 d u = sec 2 ⁡ x 2 d x

Agora podemos substituir na integral :D

∫ sec 2 ⁡ x 2 u 7 d x = ∫ u 7 ( 2 d u ) = 2 ∫ u 7 d u

Passo 4

Agora sim podemos usar a tabela de primitivas e ficar com:

2 ∫ u 7 d u = 2 u 8 8 + C = u 8 4 + C

OBS: não vai esquecer dessa constante de integração hem!

Agora precisamos voltar para a variável inicial do problema. Mas isso é mole mole porque é só lembrar de quem chamamos de u lá no início.

∫ sec 2 ⁡ x 2 tg 7 ⁡ x 2 d x = tg ⁡ x 2 8 4 + C

Resposta

tg ⁡ x 2 8 4 + C

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