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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.5 - Ex. 26

Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

int sec^2 ((x)/(2)) tg^7 ((x)/(2)) d x

Passo 1

A boa quando você ver uma função dentro da outra é pensar em substituição, chamando a função de dentro de u !

Aqui no nosso caso temos a composta de x^7 com tg ((x)/(2)) , então vamos fazer

u = tg ((x)/(2))

Passo 2

Calcular o d u é só derivar a expressão dada e colocar um d x no final:

u = tg ((x)/(2)) -> d u = (tg ((x)/(2)))^' d x = (((1)/(2)) (sec^2 ((x)/(2)))) d x

Passo 3

Agora é só substituir tudo na integral

int sec^2 ((x)/(2)) tg^7 ((x)/(2)) d x

Temos então que

int sec^2 ((x)/(2)) u^7 d x

Agora e o resto da integral? O que fazer com ele? Muitas vezes vamos ter que manipular a expressão do d u . Vem comigo

d u = (((1)/(2)) (sec^2 ((x)/(2)))) d x -> 2 d u = (2) (((1)/(2)) (sec^2 ((x)/(2)))) d x -> 2 d u = ((sec^2 ((x)/(2)))) d x

Agora podemos substituir na integral :D

int sec^2 ((x)/(2)) u^7 d x = int u^7 ( 2 d u ) = 2 int u^7 d u

Passo 4

Agora sim podemos usar a tabela de primitivas e ficar com:

2 int u^7 d u = (2) ((u^8)/(8)) + C = (u^8)/(4) + C

OBS: não vai esquecer dessa constante de integração hem!

Agora precisamos voltar para a variável inicial do problema. Mas isso é mole mole porque é só lembrar de quem chamamos de u lá no início.

int sec^2 ((x)/(2)) tg^7 ((x)/(2)) d x = ((tg ((x)/(2)))^8)/(4) + C

Resposta

((tg ((x)/(2)))^8)/(4) + C

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