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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.1 - Ex. 45

Calcule a integral

int (d x)/(x log_10 x)

Passo 1

Questões como esta, que pede apenas para resolvermos uma integral, começam a se tornar complexas. Vamos colocar todos os conhecimentos aprendidos em prática. Podemos calcular integrais definidas, indefinidas, utilizar regra da substituição, etc. Desta forma, é importante termos um domínio dos assuntos prévios. Sempre que necessário, revisaremos quaisquer conceitos!

Passo 2

Vamos começar por analisar a integral que devemos resolver. Vejamos ela abaixo.

int (d x)/(x log_10 x)

Façamos inicialmente uma mudança de variável. Seja u = log_10 x , consequentemente, temos d u = (d x)/(x ln 10) . Portanto, temos:

int (d x)/(x log_10 x) = ln 10 int (d u)/(u)

E agora chegamos a uma função facilmente integrável!

Passo 3

Vamos obter a primitiva da nossa integral. Desta forma, temos:

ln 10 * int (d u)/(u) = ln 10 * ln |u| + k

Voltando para a variável inicial, temos:

ln 10 * ln |u| + k = ln 10 * ln |log_10 x| + k

Portanto, a solução do nosso problema é:

int (d x)/(x log_10 x) = ln 10 * ln |log_10 x| + k

OBS: Cuidado para não esquecerem da constante k , pois estamos resolvendo uma integral indefinida!

Resposta

int (d x)/(x log_10 x) = ln 10 * ln |log_10 x| + k

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