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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.5 - Ex. 29

Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

int x^((1)/(2)) sen (x^((3)/(2)) + 1) d x

Passo 1

A boa quando você ver uma função dentro da outra é pensar em substituição, chamando a função de dentro de u !

Aqui no nosso caso temos a composta de sen x com x^((3)/(2)) + 1 , então vamos fazer

u = x^((3)/(2)) + 1

Passo 2

Calcular o d u é só derivar a expressão dada e colocar um d x no final:

u = (x^((3)/(2)) + 1) -> d u = (x^((3)/(2)) + 1)^' d x = ((3)/(2) x^((1)/(2))) d x

Passo 3

Agora é só substituir tudo na integral

int x^((1)/(2)) sen (x^((3)/(2)) + 1) d x

Temos então que

int x^((1)/(2)) sen (u) d x

Agora e o resto da integral? O que fazer com ele? Muitas vezes vamos ter que manipular a expressão do d u . Vem comigo

d u = ((3)/(2) x^((1)/(2))) d x -> ((2)/(3)) d u = ((2)/(3)) ((3)/(2) x^((1)/(2))) d x -> ((2)/(3)) d u = x^((1)/(2)) d x

Agora podemos substituir na integral :D

int x^((1)/(2)) sen (u) d x = int sen (u) ((2)/(3) d u) = (2)/(3) int sen ( u ) d u

Passo 4

Agora sim podemos usar a tabela de primitivas e ficar com:

(2)/(3) int sen ( u ) d u = ((2)/(3)) (- cos ( u )) + C = - (2 cos (u))/(3) + C

OBS: não vai esquecer dessa constante de integração hem!

Agora precisamos voltar para a variável inicial do problema. Mas isso é mole mole porque é só lembrar de quem chamamos de u lá no início.

int x^((1)/(2)) sen (x^((3)/(2)) + 1) d x = - (2 cos (x^((3)/(2)) + 1))/(3) + C

Resposta

- (2 cos (x^((3)/(2)) + 1))/(3) + C

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