Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

∫ x 1 2 sen ⁡ x 3 2 + 1 d x

Passo 1

A boa quando você ver uma função dentro da outra é pensar em substituição, chamando a função de dentro de u !

Aqui no nosso caso temos a composta de sen ⁡ x com   x 3 2 + 1 , então vamos fazer

u = x 3 2 + 1

Passo 2

Calcular o d u é só derivar a expressão dada e colocar um d x no final:

u = x 3 2 + 1 → d u = x 3 2 + 1 ' d x = 3 2 x 1 2 d x

Passo 3

Agora é só substituir tudo na integral

∫ x 1 2 sen ⁡ x 3 2 + 1 d x

Temos então que

∫ x 1 2 sen ⁡ u d x

Agora e o resto da integral? O que fazer com ele? Muitas vezes vamos ter que manipular a expressão do d u . Vem comigo

d u = 3 2 x 1 2 d x → 2 3 d u = 2 3 3 2 x 1 2 d x → 2 3 d u = x 1 2 d x

Agora podemos substituir na integral :D

∫ x 1 2 sen ⁡ u d x = ∫ sen ⁡ u 2 3 d u = 2 3 ∫ sen ⁡ ( u ) d u

Passo 4

Agora sim podemos usar a tabela de primitivas e ficar com:

2 3 ∫ sen ⁡ ( u ) d u = 2 3 - cos ⁡ ( u ) + C = - 2 cos ⁡ u 3 + C

OBS: não vai esquecer dessa constante de integração hem!

Agora precisamos voltar para a variável inicial do problema. Mas isso é mole mole porque é só lembrar de quem chamamos de u lá no início.

∫ x 1 2 sen ⁡ x 3 2 + 1 d x = - 2 cos ⁡ x 3 2 + 1 3 + C

Resposta

- 2 cos ⁡ x 3 2 + 1 3 + C

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