Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.1 - Ex. 27

Calcule as integrais fazendo a substituição u apropriada e aplicando as fórmulas revisadas nesta seção.

∫ x c o s s e c x 2 d x

Passo 1

Faaaala, galera do Responde Aí!!

Pra começarmos esse exercício, podemos simplesmente usar a dica dada no enunciado e procurar por alguma fórmula de integração na lista de integrais que se encontra na página 489 do livro CÁLCULO VOL. 1 - 10ª ED - ANTON.

Procurando pela lista, iremos conseguir encontrar uma fórmula que se identifica com a nossa integral.

Passo 2

Como nossa integral problema não possui uma forma adequada para calcular, precisamos reescrevê-la de uma forma que consigamos resolver o exercício.

Então, lembrando da relação trigonométrica:

s e n x = 1 c o s s e c x

Podemos obter:

∫ x c o s s e c x 2 d x = ∫ x s e n x 2 d x

E aplicando a substituição simples com

u = x 2   e   d u = 2 x d x

Teremos:

∫ x c o s s e c x 2 d x = ∫ s e n u d u 2 = 1 2 ∫ s e n u d u

Passo 3

Agora, nossa integral tem outra cara e tem a mesma forma da fórmula 15 já definida na lista de integrais. Então, usando-a:

∫ s e n u d u = - cos ⁡ u + C

Vamos encontrar:

1 2 ∫ s e n u d u = - 1 2 cos ⁡ u + C

Agora, substituindo a variável de origem:

∫ x c o s s e c x 2 d x = - 1 2 cos ⁡ x 2 + C

Resposta

∫ x c o s s e c x 2 d x = - 1 2 cos ⁡ x 2 + C

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