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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.6 - Ex. 24

  1. Use a Tabela de Integrais para calcular a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS, use-o para calcular a integral e, então, confirme que o resultado é equivalente ao que foi obtido em (a).

∫ e x cos ⁡ 2 x d x

Passo 1

Conhecemos a nossa integral:

∫ e x cos ⁡ 2 x d x

O exercício requer que usemos a tabela de integral para realizar o cálculo. Usaremos a fórmula que diz que :

∫ e a u cos  ⁡ ( b u ) d u = e a u a 2 + b 2 a  cos ⁡ b u + b sen ⁡ ( b u ) + C

Passo 2

  1. Usando a fórmula dada, chamaremos:

a = 1

b = 2

Se :

∫ e a u cos  ⁡ ( b u ) d u = e a u a 2 + b 2 a  cos ⁡ b u + b sen ⁡ ( b u ) + C

Substituindo na fórmula, temos:

∫ e x cos  ⁡ ( 2 x ) d x = e x 1 2 + 2 2 1 .   cos ⁡ 2 x + 2 sen ⁡ ( 2 x ) + C

Reescrevendo, temos:

∫ e x cos  ⁡ ( 2 x ) d x = e x 1 + 4   cos ⁡ 2 x + 2 sen ⁡ ( 2 x ) + C

Resolvendo, temos:

∫ e x cos  ⁡ ( 2 x ) d x = e x 5   cos ⁡ 2 x + 2 sen ⁡ ( 2 x ) + C

Resposta

∫ e x cos  ⁡ ( 2 x ) d x = e x 5   cos ⁡ 2 x + 2 sen ⁡ ( 2 x ) + C

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a Deduza a identidade sec 2 ⁡ x t g x = 1 s e n x cos ⁡ x b Use a identidade s e n 2 x = 2 s e n x cos ⁡ x junto ao resultado de a para calcular ∫ c o s s e c xd x . c Use a identidade cos ⁡ x = s e n