Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.1 - Ex. 23

Calcule as integrais fazendo a substituição u apropriada e aplicando as fórmulas revisadas nesta seção.

∫ e - x 4 - e - 2 x d x

Passo 1

Faaaala, galera do Responde Aí!!

Pra começarmos esse exercício, podemos simplesmente usar a dica dada no enunciado e procurar por alguma fórmula de integração na lista de integrais que se encontra na página 489 do livro CÁLCULO VOL. 1 - 10ª ED - ANTON.

Procurando pela lista, conseguimos encontrar a fórmula 5 na parte de integrais exponenciais que se identifica com a nossa integral aqui.

Passo 2

A integral a ser aplicada é:

∫ e u d u = e u + C

No entanto, nossa integral problema não está na mesma forma adequada para calcular. Pra isso, precisamos reescrevê-la de uma forma que consigamos resolver o exercício.

Então, reescrevendo a nossa integral, podemos obter:

∫ e - x 4 - e - 2 x d x = ∫ e - x 4 - e - x 2 d x

E aplicando a substituição simples com

u = e - x   e   d u = - e - x d x

Teremos:

∫ e - x 4 - e - x 2 d x = - ∫ d u 4 - u 2

Passo 3

Agora, nossa integral tem outra cara e tem a mesma forma da fórmula 26 já definida na tabela de integrais. Então, pegando uma das fórmulas da parte de integrais de funções algébricas dada por:

∫ d u a 2 - u 2 = 1 2 a ln ⁡ a + u a - u + C

Vamos encontrar:

- ∫ d u 4 - u 2 = - 1 2 2 ln ⁡ 2 + u 2 - u + C

E, portanto:

- ∫ d u 4 - u 2 = - 1 4 ln ⁡ 2 + u 2 - u + C

Agora, substituindo a variável de origem:

∫ e - x 4 - e - 2 x d x = - 1 4 ln ⁡ 2 + e - x 2 - e - x + C

Resposta

∫ e - x 4 - e - 2 x d x = - 1 4 ln ⁡ 2 + e - x 2 - e - x + C

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