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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.5 - Ex. 9

Calcule as integrais indefinidas nos Exercícios 1-16 usando as substituições dadas para reduzir as integrais à forma padrão

∫ sec ⁡ 2 t tg ⁡ 2 t d t ,     u = 2 t

Passo 1

Galera, ao usar substituição precisamos calcular o d u e substituir na integral. Vamos recair numa integral mais simples que normalmente vamos resolver pela tabela de primitivas.

Passo 2

Calcular o d u é só derivar a expressão dada e colocar um d t no final:

u = 2 t → d u = 2 t ' d t = 2 d t

Passo 3

Agora é só substituir tudo na integral

∫ sec ⁡ 2 t tg ⁡ 2 t d t

Os termos entre parênteses é o próprio u !

∫ sec ⁡ ( u ) tg ⁡ ( u ) d t

Agora e o resto da integral? O que fazer com ele? Muitas vezes vamos ter que manipular a expressão do d u . Vem comigo

d u = 2 d t → d u 2 = 2 2 d t → d u 2 = d t

Agora podemos substituir na integral :D

∫ sec ⁡ ( u ) tg ⁡ ( u ) d t = ∫ sec ⁡ u tg ⁡ u d u 2 = 1 2 ∫ sec ⁡ ( u ) tg ⁡ ( u ) d u

Agora pela tabela de primitivas sabemos que essa é a integral da sec ⁡ u

1 2 ∫ sec ⁡ ( u ) tg ⁡ ( u ) d u = 1 2 sec ⁡ u + C

OBS: não vai esquecer dessa constante de integração hem!

Agora precisamos voltar para a variável inicial do problema. Mas isso é mole mole porque é só lembrar de quem chamamos de u lá no início.

∫ sec ⁡ 2 t tg ⁡ 2 t d t = 1 2 sec ⁡ ( 2 t ) + C

Resposta

1 2 sec ⁡ ( 2 t ) + C

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