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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.5 - Ex. 14

Calcule as integrais indefinidas nos Exercícios 1-16 usando as substituições dadas para reduzir as integrais à forma padrão

∫ 1 x 2 cos 2 ⁡ 1 x d x ,     u = - 1 x

Passo 1

Galera, ao usar substituição precisamos calcular o d u e substituir na integral. Vamos recair numa integral mais simples que normalmente vamos resolver pela tabela de primitivas.

Passo 2

Calcular o d u é só derivar a expressão dada e colocar um d x no final:

u = - 1 x → d u = - 1 x ' d x = 1 x 2 d x

Passo 3

Agora é só substituir tudo na integral

∫ 1 x 2 cos 2 ⁡ 1 x d x

O termo dentro do parênteses é o próprio u !

∫ 1 x 2 cos 2 ⁡ u d x

O resto da integral é o próprio d u , então:

∫ 1 x 2 cos 2 ⁡ u d x = ∫ cos 2 ⁡ u d u

Passo 4

A integral acima ainda não está tabelada, mas se usarmos a seguinte propriedade trigonométrica:

cos 2 ⁡ u = 1 2 ( 1 + cos ⁡ 2 u )

Vamos ficar com

∫ cos 2 ⁡ u d u = ∫ 1 2 ( 1 + cos ⁡ 2 u ) d u = 1 2 ∫ 1 + cos ⁡ 2 u d u

Agora sim podemos usar a tabela de primitivas e ficar com:

1 2 ∫ 1 + cos ⁡ 2 u d u = 1 2 u + sen ⁡ 2 u 2 + C

OBS: não vai esquecer dessa constante de integração hem!

Agora precisamos voltar para a variável inicial do problema. Mas isso é mole mole porque é só lembrar de quem chamamos de u lá no início.

∫ 1 x 2 cos 2 ⁡ 1 x d x = 1 2 1 x + sen ⁡ 2 x 2 + C

Resposta

1 2 1 x + sen ⁡ 2 x 2 + C

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