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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 2g

2.Calcule

int_(- (3)/(2))^(- 1) (2 x + 3)^(100) d x

Passo 1

Vamos primeiro fazer uma mudança de variável , chamaremos de:

u = 2 x + 3

Então aplicando derivado aos dois lados, teremos :

(u)^' = (2 x + 3) '

d u = 2 d x

Isolando 2 d x , temos :

d x = (d u)/(2)

Passo 2

Agora substituiremos u na equação:

int (2 x + 3)^(100) d x = int (u^(100) d u)/(2)

Sendo (1)/(2) constante, o colocaremos para fora e calcularemos a primitiva :

int (2 x + 3)^(100) d x = (1)/(2) int u^(100) d u

int (2 x + 3)^(100) d x = (u^(101))/(202) + C

Voltando ao x , pois ele é a nossa variável, o u foi apenas uma ferramenta para conseguirmos efetuar a integral!

int (2 x + 3)^(100) d x = ((2 x + 3)^(101))/(202) + C

Passo 3

Agora , com a primitiva já calculada, calcularemos a Integral Definida :

int_(- (3)/(2))^(- 1) (2 x + 3)^(100) d x = ((2 (- 1) + 3)^(101))/(202) - (((2 (- (3)/(2)) + 3)^(101))/(202))

int_(- (3)/(2))^(- 1) (2 x + 3)^(100) d x = (1)/(202)

Resposta

int_(- (3)/(2))^(- 1) (2 x + 3)^(100) d x = (1)/(202)

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