2.Calcule:

int_1^2 (x)/(1 + 3 x^2) d x

Passo 1

Essa é uma questão de integral definida, mas lembrando de que antes de fazermos a definida faremos como se fosse indefinida e faremos valor numérico de função, isso que você está pensando, usaremos a matemática do ensino médio. Sem mais enrolação. Vamos lá!!!!!

u = 1 + 3 x^2

Lembrando que a nossa intenção é colocar todos os termos da integral como uma função de u , teremos que fazer isso até com o d x . E como faremos isso??? Calma, aplicaremos a derivada dos dois lados, lembra né? Vamos lá:

(u)^' = (1 + 3 x^2) '

d u = 6 x d x

Isolando x d x , para facilitar a nossa visualização:

x d x = (d u)/(6)

Passo 2

Agora que temos tudo em função de u , vamos substituir de forma simples, anotando aquilo que já obtemos nas operações anteriores:

u = 1 + 3 x^2

x d x = (d u)/(6)

int (x)/(1 + 3 x^2) d x = int (d u)/(6 u)

Sendo (1)/(6) uma constante, o colocaremos para fora e calcularemos a primitiva :

int (x)/(1 + 3 x^2) d x = (1)/(6) int u^(- 1) d u

int (x)/(1 + 3 x^2) d x = (1)/(6) ln u + c

Voltando ao x , pois ele é a nossa variável, o u foi apenas uma ferramenta para conseguirmos efetuar a integral! ( u = 1 + 3 x^2 ), temos:

int (x)/(1 + 3 x^2) d x = (1)/(6) ln | 1 + 3 x^2 | + c

Passo 3

Agora, com a primitiva já calculada, usaremos a boa e velha matemática do Ensino Médio, valor numérico de função e faremos a integral definida e atenção para não errar no último passo, pois mesmo sendo algo já visto, é aqui que alguns camaradas erram!

int_1^2 (x)/(1 + 6 x^2) d x = (1)/(6) ( ln 13 - ln 4 )

int_0^1 (3)/(2 x + 1) d x = (1)/(6) ln (13)/(4)

Resposta

int_0^1 (3)/(2 x + 1) d x = (1)/(6) ln (13)/(4)

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Calcule a integral definida. ∫ π / 3 2 π / 3 csc 2 ⁡ t 2 d t