Resolva os problemas de valor inicial nos Exercícios 91-112.

Passo 1

O primeiro passo que pode ser feito para encontrar a solução do P.V.I. é integrar a expressão diferencial que o enunciado nos dá.

Assim, o resultado da integral irá nos dar a função primitiva da derivada, na qual podemos substituir os valores da condição inicial a fim de encontrarmos a equação desejada.

Passo 2

Portanto,

d y d x = 1 x 2 + x   → d y = 1 x 2 + x d x

y = ∫ 1 x 2 + x d x = - 1 x + x 2 2 + C

Passo 3

O exercício nos dá uma condição inicial na qual diz que y = 1 quando x = 2 . Com esses valores é possível descobrir o valor da constante e, assim, saber qual é a equação final. Logo:

y = - 1 x + x 2 2 + C

1 = - 1 2 + 2 2 2 + C   ∴   C = - 1 2

Então, a equação correta é y = - 1 x + x 2 2 - 1 2 .

Resposta

A solução do P.V.I. é

y = - 1 x + x 2 2 - 1 2 ,   x > 0

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