Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 5.11 - Ex. 4g

Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma mudança de variáveis conveniente.

∫ ∫ ∫ W x d x d y d z

Onde

W = x ,   y ,   z ∈ R 3   |   4 ≤ x 2 + y - 1 2 + z 2 ≤ 9 ,   x ≥ 0 ,   z ≥ 0

Passo 1

E aí, galerinha!! Vamos lá com mais um exercício com o Responde Aí!! :D

Para calcularmos a integral tripla, o primeiro passo é determinar o domínio das variáveis para saber os limites de integração. No entanto, não é simplesmente determinar esses valores.

Se fizermos o esboço da região (mostrado a seguir) conseguimos ver que ela representa a parte entre duas esferas de raios diferentes, além dos planos definidos por x = 0 e z = 0 :

Como estamos envolvendo superfícies esféricas, no item i i ) da seção 5.10.1 (livro DIOMARA - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS - 1 ª ED.) temos que a substituição das variáveis x ,   y ,   z serão dadas por:

x = ρ s e n φ cos ⁡ θ

y - 1 = ρ s e n φ s e n θ → y = ρ s e n φ s e n θ + 1

E:

z = ρ cos ⁡ φ

E a nossa integral será dada por:

∫ ∫ ∫ Q ρ s e n φ cos ⁡ θ ∂ x ,   y ,   z ∂ ρ ,   θ ,   φ d ρ d θ d φ

Onde:

Q = ρ ,   θ ,   φ ∈ R 3   |   ρ ≥ 0 ,     θ 0 ≤ θ ≤ θ 0 + 2 π ,     0 ≤ φ ≤ π

Observando o nosso esboço e seguindo o esquema das coordenadas esféricas para um ponto:

Temos que:

- π 2 ≤ θ ≤ π 2

E:

0 ≤ φ ≤ π 2

Ainda, precisamos determinar o módulo do Jacobiano. Então:

∂ x ,   y ,   z ∂ ρ ,   θ ,   φ = s e n φ cos ⁡ θ - ρ s e n φ s e n θ ρ cos ⁡ φ cos ⁡ θ s e n φ s e n θ ρ s e n φ cos ⁡ θ ρ cos ⁡ φ s e n θ cos ⁡ φ 0 - ρ s e n φ

Isso resulta em:

∂ x ,   y ,   z ∂ ρ ,   θ ,   φ = - ρ 2 s e n 3 φ cos 2 ⁡ θ - ρ 2 s e n φ cos 2 ⁡ φ s e n 2 θ

- ρ 2 s e n φ cos 2 ⁡ φ cos 2 ⁡ θ - ρ 2 s e n 3 φ s e n 2 θ

Juntando os termos semelhantes, podemos escrever:

⇒ - ρ 2 s e n 3 φ cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ - ρ 2 s e n φ cos 2 ⁡ φ cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ

Usando a identidade trigonométrica:

cos 2 ⁡ u + s e n 2 u = 1

Teremos:

∂ x ,   y ,   z ∂ ρ ,   θ ,   φ = - ρ 2 s e n 3 φ - ρ 2 s e n φ cos 2 ⁡ φ

Ou ainda:

∂ x ,   y ,   z ∂ ρ ,   θ ,   φ = - ρ 2 s e n φ s e n 2 φ + cos 2 ⁡ φ = - ρ 2 s e n φ

Portanto, o módulo do jacobiano é:

∂ x ,   y ,   z ∂ ρ ,   θ ,   φ = - ρ 2 s e n φ = ρ 2 s e n φ

Dessa forma:

⇒ ∫ ∫ ∫ Q ρ s e n φ cos ⁡ θ ρ 2 s e n φ d ρ d θ d φ

Isso nos dá:

∫ ∫ ∫ W x d x d y d z = ∫ ∫ ∫ Q ρ 3 s e n 2 φ cos ⁡ θ d ρ d θ d φ

Passo 2

Agora, precisamos determinar os valores que serão os intervalos de cada variável. Para isso, vamos fazer as substituições na inequação das esferas. Então:

4 ≤ x 2 + y - 1 2 + z 2 ≤ 9

Isso resulta em:

4 ≤ ρ 2 s e n 2 φ cos 2 ⁡ θ + ρ 2 s e n 2 φ s e n 2 θ + ρ 2 cos 2 ⁡ φ ≤ 9

Juntando os termos semelhantes:

4 ≤ ρ 2 s e n 2 φ cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ + ρ 2 cos 2 ⁡ φ ≤ 9

E lembrando (mais uma vez) da identidade trigonométrica:

cos 2 ⁡ u + s e n 2 u = 1

Podemos reescrever:

4 ≤ ρ 2 s e n 2 φ + ρ 2 cos 2 ⁡ φ ≤ 9

Tal que:

⇒ 4 ≤ ρ 2 s e n 2 φ + cos 2 ⁡ φ ≤ 9

∴ 4 ≤ ρ 2 ≤ 9

Logo:

2 ≤ ρ ≤ 3

Passo 3

Com todos esses resultados obtidos, podemos reescrever a integral tripla como:

∫ ∫ ∫ Q ρ 3 s e n 2 φ cos ⁡ θ d ρ d θ d φ = ∫ 0 π 2 ∫ - π 2 π 2 ∫ 2 3 ρ 3 s e n 2 φ cos ⁡ θ d ρ d θ d φ

Ou ainda:

⇒ ∫ 0 π 2 s e n 2 φ ∫ - π 2 π 2 cos ⁡ θ ∫ 2 3 ρ 3 d ρ d θ d φ

Então, resolvendo a primeira integral:

= ∫ 0 π 2 s e n 2 φ ∫ - π 2 π 2 cos ⁡ θ ρ 4 4 | 3 2 d θ d φ

E substituindo o intervalo de integração:

⇒ 1 4 ∫ 0 π 2 s e n 2 φ ∫ - π 2 π 2 cos ⁡ θ 81 - 16 d θ d φ

= 65 4 ∫ 0 π 2 s e n 2 φ ∫ - π 2 π 2 cos ⁡ θ d θ d φ

Passo 4

A segunda integral pode ser resolvida diretamente, tal que:

65 4 ∫ 0 π 2 s e n 2 φ ∫ - π 2 π 2 cos ⁡ θ d θ d φ = 65 4 ∫ 0 π 2 s e n 2 φ s e n θ | π 2 - π 2 d φ

Substituindo os limites de integração:

⇒ 65 4 ∫ 0 π 2 s e n 2 φ s e n π 2 - s e n - π 2 d φ

Teremos:

65 4 ∫ 0 π 2 s e n 2 φ s e n π 2 - s e n - π 2 d φ = 65 4 ∫ 0 π 2 s e n 2 φ 1 - - 1 d φ

⇒ 65 2 ∫ 0 π 2 s e n 2 φ d φ

Passo 5

Por fim, podemos aplicar a identidade trigonométrica:

s e n 2 u = 1 - cos ⁡ 2 u 2

Para resolver a integral. Dessa forma, ela será escrita como:

65 2 ∫ 0 π 2 s e n 2 φ d φ = 65 2 ∫ 0 π 2 1 - cos ⁡ 2 φ 2 d φ

Isso pode ser reescrito como:

65 4 ∫ 0 π 2 1 - cos ⁡ 2 φ d φ

Logo:

65 4 ∫ 0 π 2 1 - cos ⁡ 2 φ d φ = 65 4 φ - s e n 2 φ | π 2 0

E substituindo os limites de integração:

⇒ 65 4 π 2 - s e n π - 0

Portanto:

⇒ ∫ ∫ ∫ W d x d y d z x 2 + y 2 + z 2 = 65 4 π 2 = 65 π 8

Resposta

65 π 8

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