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Exercícios de Mudança para Coordenadas Esféricas - Lista de Exercícios Resolvida

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Questão 1

Calcule

J = ∭ W   z 2   d x d y d z

Onde W = { ( x , y , z ) ∈ R 3 | x 2 + y 2 + z 2 ≥ 1 ,   x 2 + y 2 + z - 2 2 ≤ 4   e   z ≥ x 2 + y 2 }

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Questão 2

Utilize coordenadas esféricas para determinar o volume do sólido que se encontra acima do cone z = x 2 + y 2 e dentro da esfera x 2 + y 2 + z 2 = z .

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Questão 3

Determine o volume do sólido W dado por

W = { ( x , y , z ) ∈ R 3 | x - 1 2 + y 2 + z 2 ≤ 1   e   z ≥ x 2 + y 2 }

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Questão 4

Calcule a massa do sólido que é parte da bola x 2 + y 2 + z - 2 2 ≤ 4 , acima do cone z = 1 3 ( x 2 + y 2 ) e abaixo do cone z = x 2 + y 2 , com densidade δ x , y , z = z .

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Questão 5

Calcular a integral tripla

J = ∭ W   z   d x d y d z

Onde W é o sólido no primeiro octante limitado pelas superfícies de equações x 2 + y 2 + z 2 = 4 z e z = 3 ( x 2 + y 2 ) , satisfazendo z ≤ 3 ( x 2 + y 2 ) .

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Questão 6

Calcule ∭ B   e x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 d x d y d z , onde B é a bola unitária:

B = { ( x , y , z ) | x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 }

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Questão 7

Considere a região espacial definida por

U = x , y , z ∈ R 3   |   1 ≤ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 ,   z ≥ 0

Calcule

I = ∫ ∫ ∫ U z x 2 + y 2 + z 2 d x d y d z

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Questão 8

Calcule a massa do sólido limitado pelas superfícies u 2 + v 2 + w 2 = 2 v , v = u 2 + w 2 e v = 3 u 2 + w 2 , com densidade δ u , v , w = v 2 .

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Questão 9

Calcule a integral

∫ 0 5 ∫ 0 25 - x 2 ∫ 0 25 - x 2 - y 2 1 1 + x 2 + y 2 + z 2 d z d y d x

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Questão 10

Calcule a integral ∭ E   x y z   d V , em que E está no primeiro octante entre as esferas ρ = 2 e ρ = 4 e acima do cone φ = π / 3 .

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Questão 11

Calcule

J = ∭ W   z 2   d x d y d z

Onde W = { ( x , y , z ) ∈ R 3 | x 2 + y 2 + z 2 ≥ 1 ,   x 2 + y 2 + z - 2 2 ≤ 4   e   z ≥ x 2 + y 2 }

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Questão 12

Calcular a integral tripla

I = ∭ W   x 2 + y 2 + z 2   d x d y d z

Onde W é o sólido contido no primeiro octante entre as esferas x 2 + y 2 + z 2 = 4 e x 2 + y 2 + z 2 = 9 e acima do cone 3 z 2 = x 2 + y 2 .

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Questão 13

Calcular a integral tripla

J = ∭ W   z   d x d y d z

Onde W é o sólido no primeiro octante limitado pelas superfícies de equações x 2 + y 2 + z 2 = 4 z e z = 3 ( x 2 + y 2 ) , satisfazendo z ≤ 3 ( x 2 + y 2 ) .

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Questão 14

Calcule o valor da integral

∭ D   ( x 2 + y 2 + z 2 )   d x d y d z

Onde D = { ( x , y , z ) ∈ R 3 | x 2 + y 2 + z 2 ≤ x } .

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Questão 15

Calcule o volume da região delimitada por cima pelo cone z = x 2 + y 2 e por baixo pela esfera x 2 + y 2 + z - 1 2 = 1 utilizando coordenadas esféricas.

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Questão 16

Calcule o volume da região do espaço limitada pelo elipsoide x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 .

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Questão 17

Questão 3: Use coordenadas esféricas para calcular o volume do sólido limitado pelo cone

z = x 2 + y 2

E abaixo da esfera

x 2 + y 2 + z 2 = 2

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Questão 18

Calcule a integral tripla

∭ U z 3 x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 d x d y d z

Onde U = x , y , z ∈ R 3 1 ≤ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 , z ≥ 0 , usando coordenadas esféricas.

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Questão 19

  1. Calcule ∭ W z   d V , onde W é o sólido limitado pelas superfícies z = x 2 + y 2 , z = 3 x 2 + y 2 e x 2 + y 2 + z 2 = 4 .

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Questão 20

2 . Encontre o volume do sólido que está entre as esferas centradas na origem de raio 1 e 2 e no interior do cone z = x 2 + y ² .

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Questão 21

  1. Calcule o volume do sólido W que está dentro da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 , acima do plano z = 0 e abaixo do cone z = 3 x 2 + y 2 .

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Questão 22

Seja o volume do sólido W comum às esferas x 2 + y 2 + z 2 = 1 e x 2 + y 2 + z 2 = 2 z . Expresse (sem calcular) o volume de W em coordenadas esféricas na ordem d ρ d ϕ d θ .

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Questão 23

  1. Considere a integral iterada

I = ∫ 0 2 ∫ 0 4 - x 2 ∫ 0 4 - x 2 - y 2 z x 2 + y 2   d z d y d x

  1. Expresse I em coordenadas esféricas e calcule o seu valor.

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Questão 24

  1. Calcule ∭ W   1 x 2 + y 2 + z 2 d V , onde W é a região interior ao cone z = x 2 + y 2 , limitada superiormente pela esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 e inferiormente pela esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 .

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Questão 25

O volume de um sólido S é dado pela seguinte integral tripla em coordenadas cilíndricas:

V o l S = 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 2 ∫ z 1 - z 2 r d r d z d θ

a) Mude a integral acima para coordenadas cartesianas explicitando os limites de integração.

b) Mude a integral acima para coordenadas esféricas explicitando os limites de integração.

c) Calcule V o l S .

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Questão 26

Seja I = ∭ D z x 2 + y 2 d V ,   onde D é o sólido entre os cones z = - x 2 + y 2 3 e z = - 3 x 2 + y 2 e as esferas x 2 + y 2 + z 2 = 4 e x 2 + y 2 + z 2 = 9 .

  • Descreva o sólido D em coordenadas esféricas ρ ,   ϕ ,   θ .
  • Calcule I .

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Questão 27

Calcule a integral tripla

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 + z 2 2   d z d y d x

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Questão 28

27. Calcule a integral

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 cos ⁡ θ + sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ + cos ⁡ ϕ ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ .

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Questão 29

Seja T a região do espaço definida pelas desigualdades:

T : 0 ≤ x ≤ 9 - y 2 ,   0 ≤ y ≤ 3 ,   0 ≤ z ≤ 9 - x 2 + y 2

(c) Escreva

∭ T z x 2 + y 2 + z 2 d V

Como uma integral repetida (iterada), sem contudo efetuar os cálculos, usando coordenadas esféricas, e calcule o valor da integral.

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Questão 30

Seja E a região sólida corresponde à calota esférica acima do plano z = 3 e abaixo da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 . Escreva a integral correspondente ao volume da região E :

a) Utilizando coordenadas cilíndricas.

b) Utilizando coordenadas esféricas.

c) Escolha uma das integrais dos itens a) ou b) e resolva para encontrar o volume da região E .

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Questão 31

Questão 5. Calcule a massa do sólido cujos pontos de coordenadas x ,   y ,   z   satisfazem x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 e z ≥ x 2 + y 2 , sabendo que a densidade em cada ponto é igual à distância deste ponto ao plano x y .

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Questão 32

Seja T o sólido interior ao cone x 2 + y 2 = 3 z 2 abaixo do plano z = 1 e considere a integral

I = ∭ T x 2 + y 2   d V

b) forneça uma expressão para I em coordenadas esféricas.

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Questão 33

Calcule ∭ E z 2 d V onde E = { x , y , z : - 2 ≤ y ≤ 2 ,   - 4 - y 2 ≤ x ≤ 0 ,   0 ≤ z ≤ 4 - x 2 - y 2 . Escolha uma opção:

a) 32 π 15

b) 2 π

c) 16 π 15

d) 64 π 15

e) 3 π 2

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Questão 34

Calcule ∭ E z 2 d V onde E = { x , y , z : - 2 ≤ y ≤ 2 ,   - 4 - y 2 ≤ x ≤ 0 ,   0 ≤ z ≤ 4 - x 2 - y 2 . Escolha uma opção:

a) 32 π 15

b) 2 π

c) 16 π 15

d) 64 π 15

e) 3 π 2

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Questão 35

Seja n , m ∈     0,1 , 2,3 … . Considere:

U = x ,   y ,   z ∈   R 3 ,   x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 , z ≥ 1 .

Considere a integral tripla

I n , m = ∭ U x 2 + y 2 n z m   d x d y d z

  1. Escreva I n , m na forma de uma integral iterada usando coordenadas esféricas ρ ,   ϕ e θ .
  2. Escreva I n , m na forma de uma integral iterada usando as coordenadas cilíndricas r ,   θ , e z .
  3. Calcule I 0,1 ( n = 0 , m = 1 .)

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Questão 36

(7) A descrição do cilindro x 2 + y 2 = 1 , entre os planos z = 0 e z = 1 , em coordenadas esféricas ρ ,   θ ,   ϕ , é dada por:

  1. ρ sin ⁡ ϕ = 1 ,               π / 4 ≤ ϕ ≤ π / 2 ,                   0 ≤ θ ≤ 2 π
  2. ρ sin ⁡ ϕ = 1 ,           -   π / 2 ≤ ϕ ≤ π / 2 ,                   0 ≤ θ ≤ 2 π
  3. ρ sin ⁡ ϕ ≤ 1 ,               π / 4 ≤ ϕ ≤ π / 2 ,                   0 ≤ θ ≤ 2 π
  4. ρ sin ⁡ ϕ = 1 ,               0 ≤ ϕ ≤ π / 2 ,                   0 ≤ θ ≤ 2 π
  5. ρ sin ⁡ ϕ ≤ 1 ,               0 ≤ ϕ ≤ π / 2 ,                   0 ≤ θ ≤ 2 π

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Questão 37

Calcule ∭ R   x 2 + y 2 9 d x d y d z onde

R = x , y , z ∈ R 3 : x ≥ 0 ,   y ≥ 0 ,   z ≥ 0 ,   x 2 + y 2 9 + z 2 ≤ 1 ,   z ≤ x 2 + y 2 9

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Questão 38

Questão 1:

Determine o volume do sólido

V = x ,   y ,   z ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2 z ,   x 2 + y 2 + z 2 ≤ 8 z ,   x 2 + y 2 ≤ z ≤ 3 x 2 + y 2

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Questão 39

1)

  1. Calcule a massa do sólido

S = u ,   v ,   w ∈ R 3   |   1 ≤ u 2 + v 2 + w 2 ≤ 2 u

com densidade γ u ,   v ,   w = u

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Questão 40

Questão 3:

Calcule

∭ E   x + y + z d V

sendo a região dentro da superfície x 2 + y 2 + z 2 = 1 no primeiro octante.

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Questão 41

Determine o volume do sólido W dado por

W = { ( x , y , z ) ∈ R 3 | x - 1 2 + y 2 + z 2 ≤ 1   e   z ≥ x 2 + y 2 }

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Questão 42

Questão 4: Seja E a região sólida interna à esfera x 2 + y 2 + z 2 = 6 , limitada por cima pelo cone

z = x 2 + y 2 2

E por baixo pelo plano x y .

  1. Expresse a integral que representa o volume de E em coordenadas esféricas.
  2. Expresse a integral que representa o volume de E em coordenadas cilíndricas.
  3. Calcule o volume de E usando o resultado de um dos itens anteriores.

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Questão 43

Considere f x , y , z = y 2 . Seja a região espacial

U = x , y , z ∈ R 3 1 ≤ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 ,   x ≥ 0 , y ≥ 0

c) Calcule

I = ∭ U f x , y , z d V

Pelo método que preferir.

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Questão 44

Questão 1: Calcule a integral tripla:

∭ B   x 2 + y 2 + z 2 2   d V

Onde B é a bola com centro na origem e raio 5 .

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Questão 45

Questão 3: Considere a região espacial

U = x ,   y ,   z ∈ R 3   |     z 2 ≤ x 2 + y 2 ,   x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 ,   x ≥ 0 ,   y ≥ 0 ,   z ≥ 0

Sabendo que o volume de U é

V o l U = 2 π 2 3

Calcule a coordenada z - do centroide de U .

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Questão 46

Questão 2: Calcule a integral tripla

∭ D   z   d V

Onde:

D = x ,   y ,   z |   x 2 + y 2 ≤ z ,   x 2 + y - 1 2 + z 2 ≤ 1

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Questão 47

Questão 2: Seja a > 0 e considere

U = x ,   y ,   z ∈ R 3   |   x 2 + y 2 + z 2 ≤ a 2 ,   0 ≤ y ≤ x ,   z ≥ 0 .

Seja a integral

I = ∭ U   z ⋅ cos 2 ⁡ z 2 ⋅ sin ⁡ x 2 + y 2 + z 2 d x d y d z

  1. Escreva I usando coordenadas cilíndricas r ,   θ ,   z .
  2. Escreva I usando coordenadas esféricas ρ ,   ϕ ,   θ .
  3. Calcule I para a = π 2 .

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Questão 48

Enunciado 3: Considere a região espacial

U = x ,   y ,   z ∈ R 3   |   x 2 + y 2 + z 2 ≤ 9 ,   z ≥ 3 x 2 + 3 y 2 ,   x ≥ 0 ,   y ≥ 0

Calcule

I = ∭ U   y x 2 + y 2 + z 2   d x d y d z

Usando o método que preferir.

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Questão 49

Considere o sólido W que está dentro da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 , acima do plano z = 0 e abaixo do cone z = x 2 + y 2 3 . Calcule o volume de W utilizando coordenadas:

(b) Esféricas.

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Questão 50

Calcule o volume do sólido S que se encontra no interior da esfera de equação x 2 + y 2 + z 2 = 9 e acima da folha superior do cone de equação z 2 = 3 ( x 2 + y 2 ) .

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Questão 51

Calcule ∫ - 2 0 ∫ 0 4 - x 2 ∫ - 4 - x 2 - y 2 0 x 2 y z   d z d y d x via coordenadas esféricas.

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Questão 52

O valor da integral

∫ 0 2 ∫ 0 4 - x 2 ∫ 0 4 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 + z 2 d z   d y   d x

é:

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Questão 53

Seja U a região espacial limitada pelo hemisfério superior da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 e pelo hemisfério superior do elipsoide x 2 + y 2 + z 2 9 = 1

  1. Esboce a região espacial U
  2. Descreva a projeção ortogonal de U no plano x y usando igualdades ou desigualdades
  3. Escreva o voluma de U na forma de uma integral tripla iterada usando coordenadas cilíndricas (neste item não é pedido o cálculo da integral)
  4. Escreva o volume de U na forma de uma integral tripla iterada usando coordenadas esféricas (neste item não é pedido o cálculo da integral)
  5. Calcule o volume de U

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Questão 54

Considere a região espacial

U = { ( x , y , z ) ∈ R 3 | x 2 + y 2 ≤ z ≤ 2 - x 2 - y 2 }

E a integral tripla

I = ∭ U   e z d x d y d z

a) Esboce a região U

b) Escreva I na forma de uma integral iterada, usando obrigatoriamente coordenadas cilíndricas ( r , θ , z ) . (Neste item não é pedido o cálculo da integral.)

c) Escreva I na forma de uma integral iterada, usando obrigatoriamente coordenadas esféricas ( ρ , φ , θ ) . (Neste item não é pedido o cálculo da integral.)

d) Calcule I .

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Questão 55

Seja U a região do espaço definida por

U = { ( x , y , z ) ∈ R 3 | z 2 ≥ x 2 + y 2 ,   x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 ,   z ≥ 0 }

Considere a função

f x , y , z = z 2 x 2 + y 2 + z 2 1 / 3

E a integral tripla

I = ∭ U   f ( x , y , z ) d x d y d z

a) Escreva I na forma de uma integral iterada, usando obrigatoriamente coordenadas cilíndricas ( r , θ , z ) . (Neste item não é pedido o cálculo da integral.)

b) Escreva I na forma de uma integral iterada, usando obrigatoriamente coordenadas esféricas ( ρ , φ , θ ) . (Neste item não é pedido o cálculo da integral.)

c) Calcule I .

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Questão 56

Considere a função f : U ⊂ R 3 → R tal que

f x , y , z = 1 x 2 + y 2 + z 2

onde

U = { ( x , y , z ) ∈ R 3 | x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2   e   z ≥ 1 }

e a integral tripla

I = ∭ U   f ( x , y , z ) d x d y d z

a) Esboce corretamente a região U , indicando no desenho a sua fronteira.

b) Escreva I na forma de uma integral iterada, usando obrigatoriamente coordenadas esféricas ( ρ , φ , θ ) . (Neste item não é pedido o cálculo da integral.)

c) Escreva I na forma de uma integral iterada, usando obrigatoriamente coordenadas cilíndricas ( r , θ , z ) . (Neste item não é pedido o cálculo da integral.)

d) Calcule I .

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Questão 57

4. Considere o sólido E correspondente à parte dentro do cone z = x 2 + y 2   que está dentro da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1

  1. Esboce E
  2. Calcule a integral.

∭ E   z 2   d x d y d z

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Questão 58

Calcule o volume do sólido

S = x , y , z   ∈   R 3 ;   z 2 ≤ 1 3 x 2 + y 2 ,     x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 ,   x 2 + y 2 ≥ 1  

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Questão 59

2 . Encontre o volume do sólido que está entre as esferas centradas na origem de raio 1 e 2 e no interior do cone z = x 2 + y ² .

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Questão 60

(Capítulo 15.9 – Exercício 25) Utilize coordenadas esféricas.

Calcule ∭ E ( x e x 2 + y 2 + z 2 ) d V , onde E é a porção da bola unitária   x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 que fica no primeiro octante.

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Questão 61

(Capítulo 15.9 – Exercício 39) Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas.

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 ∫ x 2 + y 2 2 - x 2 - y 2 x y   d z   d y   d x

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Questão 62

(Capítulo 15.9 – Exercício 22) Utilize coordenadas esféricas.

Calcule ∭ H 9 - x 2 - y 2 d V , onde H é o hemisfério sólido x 2 + y 2 + z 2 ≤ 9 , z ≥ 0 .

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Questão 63

(Capítulo 15.9 – Exercício 40) Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas.

∫ - a a ∫ - a 2 - y 2 a 2 - y 2 ∫ - a 2 - x 2 - y 2 a 2 - x 2 - y 2 ( x 2 z + y 2 z + z 3 )   d z   d x   d y

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Questão 64

Seja f : R 3 → R função contínua. Se

∭ R f x , y , z d x d y d z = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 3 ∫ 1 2 cos ⁡ φ f r cos ⁡ θ s e n   φ ,   r   s e n   θ   s e n   φ ,   r cos ⁡ φ   r 2   s e n   φ d r d φ d θ

Então R é:

Escolha uma:

a) x , y , z ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 ≥ 1 ,   x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 z

b) x , y , z ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 z ,   x 2 + y 2 ≥ z

c) x , y , z ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2 z ,   x 2 + y 2 ≤ z

d) x , y , z ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 ,     x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2 z

e) x , y , z ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 ≥ 1 ,   x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2

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Questão 65

Considere a região espacial:

U = x ,   y ,   z ∈ R 3 ,   z ≥ x 2 + y 2       e       x 2 + y 2 + z 2 ≤ z .

Considere a integral tripla

I = ∭ U   x 2 + y 2 + z 2     d x d y d z .

  1. Determine a fronteira de U através de igualdades de desigualdades.

    2. Considere V = U ∩ x ≥ 0       e       y ≥ 0 e considere a integral tripla

    J = ∭ V   x 2 + y 2 + z 2     d x d y d z .

  2. Escreva I em coordenadas esféricas.
  3. Escreva J em coordenadas cilíndricas.
  4. Calcule I .
  5. Sabendo que I = λ J , calcule λ .

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Questão 66

Calcule

∭ R d V x 2 + y 2

Onde R é a região limitada pela superfície ρ = 2   s e n ϕ , externa à ρ = c o s s e s c   ϕ

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Questão 67

Determine ∭ W x 2 + y 2 + z 2 3 d V , onde W é a esfera de raio 2 centrada na origem

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Questão 68

Calcule ∭ E e x 2 + y 2 + z 2 d V , onde E está contida entre x 2 + y 2 + z 2 = 1 e x 2 + y 2 + z 2 = 4 no primeiro octante.

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Questão 69

Questão 2: Seja a > 0 uma constante. Seja

U = x ,   y ,   z ∈ R 3   |   x 2 + y 2 + z 2 ≤ a 2 ,   z ≥ 0 .

Considere a integral tripla

J a = ∭ U   z 2 a 2 - x 2 - y 2 - z 2   d x d y d z

  1. Escreva J a numa forma de integral iterada, usando obrigatoriamente coordenadas esféricas.

    2. Obs.: Neste item não é necessário calcular a integral.

  2. Escreva J a numa forma de integral iterada, usando obrigatoriamente coordenadas cilíndricas.

    3. Obs.: Neste item não é necessário calcular a integral.

  3. Calcule J a .

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Questão 70

Determine o volume do sólido que está acima do cone ∅ = π / 3 e abaixo da esfera ρ = 4 cos ⁡ ∅ .

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Questão 71

Determine o volume da região delimitada pela esfera x 2 + y 2 + z 2 ≤ 9 e pelo cone z ≥ x 2 + y 2

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Questão 72

Calcule a integral tripla

∭ Ω   x 2 + y 2 z 2   d V ,

Onde Ω = x ,   y ,   z   |     x 2 + y 2 + z 2 ≤ z .

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Questão 73

Calcule

i = ∭ S 1 x 2 + y 2   d V ,

onde S é o sólido formado pelos pontos que estão acima do cone z = 3 x 2 + y 2 , dentro da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 e fora da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1

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Questão 74

Utilize coordenadas esféricas para calcular a integral

∭ E x 2 x 2 + y 2 + z 2 2 d V

Em que E é o sólido limitado pelo cone z = 3 ( x 2 + y 2 ) e pelo paraboloide z = x 2 + y 2

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Questão 75

Utilize coordenadas esféricas para calcular a integral

∭ E 1 x 2 + y 2 + z 2 d V

Em que E é o sólido limitado acima pelo cone z = 3 ( x 2 + y 2 ) e abaixo pela esfera x 2 + y 2 + z 2 = z

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Questão 76

Calcule a integral tripla ∭ H   9 - x 2 - y 2 d V , em que H é o hemisfério sólido x 2 + y 2 + z 2 ≤ 9 acima do plano x y .

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Questão 77

Calcule a integral tripla

∫ ∫ ∫ W z 2 d V

onde W = x , y , z ∈ R 3 :   x 2 + y 2 + z 2 ≤ 16 ,   x 2 + y 2 + z 2 ≥ 4 z   e   0 ≤ z ≤ x 2 + y 2 3 .

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Questão 78

Seja R a parte da região limitada pela superfície ρ ( ϕ ) = 2 s e n ( ϕ ) , externa à ρ ( ϕ ) = 3 2 c s c ( ϕ ) . Esboce o perfil da região e calcule

∫ ∫ ∫ R d V x 2 + y 2 + z 2

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Questão 79

Calcule E = ∫ ∫ ∫ z   d V , sendo E o sólido limitado pelas superfícies z = x 2 + y 2 , z = 3 x 2 + y 2 e x 2 + y 2 + z 2 = 4 .

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Questão 80

Seja E = x , y , z : - 2 ≤ y ≤ 2 ,   - 4 - y 2 ≤ x ≤ 0 ,   0 ≤ z ≤ 4 - x 2 - y 2 . Calcule:

E = ∭ z 2   d V

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Questão 81

Calcule

∭ B ( x 2 + y 2 + z 2 ) d x d y d z

Onde B é a esfera x 2 + y 2 + z 2 ≤ 9

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Questão 82

Seja E a região formada pelos pontos x ,   y ,   z ∈ R 3 tal que

z ≥ 2 2   e   x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1

a)Esboce E

b)Calcule o volume de E usando a integral tripla.

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Questão 83

Usando coordenadas esféricas, encontre o volume da região que está dentro da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 2 e fora do cilindro x 2 + y 2 = 1 .

Dica: Tem-se

∫ 1 sen 2 ⁡ ϕ d ϕ = - 1 tan ⁡ ϕ + c

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Questão 84

Utilize as coordenadas esféricas

x = r s e n ( θ ) c o s ⁡ ( φ ) y = r s e n θ s e n ( φ ) z = r c o s ( φ )

( r ≥ 0 ,   0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ φ ≤ 2 π ) e calcule as integrais dadas a seguir, utilizando a formula da mudança de variáveis:

∭ R f x , y , z d V = ∭ R ' f r c o s θ s e n ( φ ) , r s e n θ s e n ( φ ) , r c o s ( φ ) r 2 s e n ( φ ) d V

Onde R = (   x = r s e n ( θ cos ⁡ φ ,   y = r s e n θ s e n φ , z = r c o s ( φ   )   ∈ R 3 / ( r , θ , φ )   ∈ R 3 ' }

b ) ∭ R e x 2 + y 2 + z 2   d v   onde R é a região hemisférica que está no primeiro octante e abaixo da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 9

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Questão 85

Questão 3: Use coordenadas esféricas para calcular o volume do sólido S que está dentro da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 9 , acima do plano x y e abaixo do cone z 2 = 3 x 2 + y 2 .

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Questão 86

Seja E o sólido no primeiro octante, interior ao cilindro x 2 + y 2 - 2 y = 0 , exterior ao cilindro x 2 + y 2 = 1 , abaixo do parabolóide z = 9 - x 2 - y 2 e acima do parabolóide z = 1 + x 2 + y 2 . Calcule

∫ ∫ ∫ E x x 2 + y 2 d V .

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Questão 87

Determine o volume da esfera sólida ρ ≤ a que está entre os cones ϕ = π / 3 e ϕ = 2 π / 3 .

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Questão 88

Utilize as coordenadas esféricas

x = r s e n ( θ ) c o s ⁡ ( φ ) y = r s e n θ s e n ( φ ) z = r c o s ( φ )

( r ≥ 0 ,   0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ φ ≤ 2 π ) e calcule as integrais dadas a seguir, utilizando a formula da mudança de variáveis:

∭ R f x , y , z d V = ∭ R ' f r c o s θ s e n ( φ ) , r s e n θ s e n ( φ ) , r c o s ( φ ) r 2 s e n ( φ ) d V

Onde R = (   x = r s e n ( θ cos ⁡ φ ,   y = r s e n θ s e n φ , z = r c o s ( φ   )   ∈ R 3 / ( r , θ , φ )   ∈ R 3 ' }

b ) ∭ R x 2 + y 2 d v   onde R é a região hemisférica que está acima do plano x , y e abaixo da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1  

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Questão 89

Calcule

∭ S e x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 d x d y d z

Onde S é o sólido limitado pela esfera de centro na origem e de raio 4 e abaixo do cone z = 3 x 2 + y 2 , contido no primeiro octante.

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Questão 90

Considere a integral

I = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 3 - 2 x 2 + y 2 + z 2 d z d y d x

(a) Reescreva I como uma integral iterada em coordenadas cilíndricas.

(b) Reescreva I como uma integral iterada em coordenadas esféricas.

(c) Calcule I .

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Questão 91

Considere o sólido S determinado pelas desigualdades x 2 + y 2 + z - 1 2 ≤ 1 e z ≥ x 2 + y 2 . Seja f uma função contínua em R 3 e

V = ∬ S f x , y , z d x d y d z

É corrento afirmar que

V = ∫ 0 2 π ∫ a b ∫ 0 2 cos ⁡ φ f ρ cos ⁡ θ s e n φ ,   ρ   s e n φ c o s θ ,   ρ c o s φ K ρ , θ , φ d ρ   d φ   d θ ,

Para toda função contínua f , se a = ? ,   b = ? e   K ρ , θ , φ = ? .

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Questão 92

Calcule a integral

∫ - 2 2 ∫ - 4 - y 2 4 - y 2 ∫ x 2 + y 2 2 x z d z d x d y

transformando-a para um sistema de coordenadas conveniente.

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Questão 93

1) Seja V o sólido dado por:

V ≔ x , y , z ∈ R 3 ; x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 ,   0 ≤ z ≤ x 2 + y 2

Faça os itens abaixo:

a) Faça um esboço do sólido V .

b) Calcule o volume do sólido.

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Questão 94

(Capítulo 15.9 – Exercício 9) Escreva a equação em coordenadas esféricas.

(a) z 2 = x 2 + y 2

(b) x 2 + z 2 = 9

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Questão 95

(Capítulo 15.9 – Exercício 17) Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a.

∫ 0 π / 6 ∫ 0 π / 2 ∫ 0 3 ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ   d θ   d ϕ

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Questão 96

(Capítulo 15.9 – Exercício 41) Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas.

∫ - 2 2 ∫ - 4 2 - y 2 4 2 - y 2 ∫ - 4 2 - y 2 - x 2 4 2 - y 2 - x 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2 d z d x d y

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Questão 97

4. Considere o sólido E correspondente à parte dentro do cone z = x 2 + y 2   que está dentro da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4

  1. Esboce E
  2. Calcule a integral.

∭ E   z 2   d x d y d z

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Questão 98

Dadas o conjunto T   =   { ( x ,   y ,   z )   ∈   R ³   :   1   ≤   x ²   +   y ²   +   z   ²   ≤   4 ,   z   ≥     x ²   +   y   ²   } , formule

uma integral que calcule o volume do sólido T:

c) usando integrais triplas em coordenadas esféricas. (Neste caso, resolva somente a pri-

meira integral interna)

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Questão 99

Calcule

∭ S x e x 2 + y 2 + z 2 d V

Onde S é a porção da bola unitária x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 no primeiro octante

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Questão 100

Calcule ∫ ∫ ∫ R z d x d y d z , onde R é limitada por:

b) z = x - 1 2 + y 2 ; z =   - x 2 + y 2 ;   x 2 + y 2 = 4

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Questão 101

Calcule as integrais:

(a) ∭ B x 2 + y 2 + z 2 d x d y d z , onde B é a bola unitária x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 .

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Questão 102

Calcule as integrais:

(b) ∭ E y 2 d x d y d z , onde E é a parte da bola unitária x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 contida no primeiro octante.

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Questão 103

Calcule as integrais:

(c) ∭ E x 2 + y 2 + z 2 d x d y d z , onde E é a região interior ao cone ϕ = π 6 e à esfera �� = 2 .

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Listas de Exercícios Resolvidos

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