Determine a massa e o centro de massa do sólido S limitado pelo paraboloide e pelo plano se S tem densidade constante K.
Passo 1
Vamos converter as equações para as coordenadas cilíndricas:
Então, a gente acha a interseção das duas superfícies pra achar o raio máximo:
Então, montamos a equação da massa usando , usando a constante k para a densidade:
Passo 2
E então, começamos a integrar:
O parabolóide é cilíndrico em volta do eixo z e tem densidade constante. Então, o centro de massa nos eixos x e y são zero por causa da simetria:
Agora, a gente monta a equação da massa :
E daí, vamos integrar de novo:
Passo 3
Daí, calculamos o centro de massa no eixo z:
E então, achamos as coordenadas: