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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.8 - Ex. 27

Determine a massa e o centro de massa do sólido S limitado pelo paraboloide z = 4 x 2 + 4 y 2 e pelo plano z = a ( a > 0 ) , se S tem densidade constante K.

Passo 1

Vamos converter as equações para as coordenadas cilíndricas:

z = 4 x 2 + 4 y 2 = 4 r 2

z = a

Então, a gente acha a interseção das duas superfícies pra achar o raio máximo:

a = 4 r 2   - >   r = 1 2 a

Então, montamos a equação da massa usando m a s s a = v o l u m e   × d e n s i d a d e , usando a constante k para a densidade:

M = k ⋅ v = k ∫ 0 2 π ∫ 0 a / 2 ∫ 4 r 2 a r   d z   d r   d θ

Passo 2

E então, começamos a integrar:

k ∫ 0 2 π ∫ 0 a / 2 r × z   | z = a z = 4 r 2 d r   d θ

k ∫ 0 2 π ∫ 0 a / 2 r × a - 4 r 3   d r   d θ

k ∫ 0 2 π ∫ 0 2 π r × a - r 4   | r = 0 r = a / 2   d θ

k ∫ 0 2 π ∫ 0 2 π 1 8 a 2 - 1 16 a 2   d θ

k ∫ 0 2 π 1 16 a 2   d θ

1 8 π a 2 k

O parabolóide é cilíndrico em volta do eixo z e tem densidade constante. Então, o centro de massa nos eixos x e y são zero por causa da simetria: M y z = 0 ,   M x z = 0

Agora, a gente monta a equação da massa M x y :

M x y = k ∫ 0 2 π ∫ 0 a / 2 ∫ 4 r 2 a z   r   d z   d r   d θ

E daí, vamos integrar de novo:

k ∫ 0 2 π ∫ 0 a / 2 1 2 z 2 r   | a 4 r 2   d r   d θ

k ∫ 0 2 π ∫ 0 a / 2 1 2 a 2 r - 8 r 5   d r   d θ

k ∫ 0 2 π 1 4 a 2 r 2 - 4 3 r 6   | r = a / 2 r = 0   d r   d θ

k ∫ 0 2 π 1 16 a 3 - 1 48 a 3 d θ

k ∫ 0 2 π 1 24 a 3 d θ

1 12 π a 3 k

Passo 3

Daí, calculamos o centro de massa no eixo z:

z _ = M x y m = 1 12 π a 3 k 1 8 π a 2 k = 2 3 a

E então, achamos as coordenadas:

( x _ , y _ , z _ ) = ( 0,0 , 2 3 a )

Resposta

m = 1 8 π a 2 k ,   ( x _ , y _ , z _ ) = ( 0,0 , 2 3 a )  

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Calculeb) ∫ ∫ ∫ B z ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto z ≥ 0 , 1 ≤ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 .
Calcule a massa do sólido x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 e z ≥ x 2 + y 2 Supondo que a densida no ponto ( x , y , z ) é proporcional à distância deste ponto ao plano x y .
Calcule ∫ ∫ ∫ B x ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto x ≥ 0 , x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 .
Calcule ∭ B x 2 + y 2 + z 2 d xd yd z onde B é a interseção da semi-esfera x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 ,z ≥ 0 com o cilindro x 2 + y 2 ≤ 1
∭ W d x d y d z z 2 ,o n d eWéos ó l i d ol i m i t a d op e l a ss u p e r f í c i e sz = x 2 + y 2 ,z = 1 - x 2 - y 2ez = 4 - x 2 - y 2 . é ó í