Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.8 - Ex. 31
Quando estudam a formação de cordilheiras, os geólogos estimam a quantidade de trabalho necessária para erguer uma montanha a partir do nível do mar. Considere uma montanha que tenha essencialmente o formato de um cone circular reto. Suponha que a densidade do material na vizinhança de um ponto P seja e a altura seja .
- Determine a integral definida que representa o trabalho total exercido para formar a montanha.
- Assuma que o monte Fuji no Japão tenha o formato de um cone circular reto com raio de 19000 m, altura de 3800 m e densidade constante de 3200 . Quanto trabalho foi feito para formar o monte Fuji se a terra estivesse inicialmente ao nível do mar?
Passo 1
Quando a partícula de massa m é elevada a uma altura h, o trabalho é , onde é a densidade do peso.
Então, quando uma massa com volume é elevado a uma altura de , o trabalho é:
Integrando, temos:
Onde E é a região dentro da montanha.
Passo 2
Letra b:
Da questão letra a, sabemos que o trabalho é
Em coordenadas cilíndricas, podemos definir E como:
Onde é a Altura da montanha e é o Raio da montanha.
O trabalho é , então:
Resolvendo, chegamos em:
Passo 3
Substituindo os valores de R e H, temos: