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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.7 - Ex. 34

Calcule as integrais sem usar tabelas.

int_0^(oo) (d x)/(( x + 1 ) ( x^2 + 1 ))

Passo 1

Veja que a integral é imprópria, e podemos fazer o seguinte:

underset(b -> oo)(lim) int_0^b (d x)/(( x + 1 ) ( x^2 + 1 ))

Vamos calcular a integral através de frações parciais. Observe que podemos fazer:

(d x)/(( x + 1 ) ( x^2 + 1 )) = (A)/(( x + 1 )) + (B x + C)/(( x^2 + 1 ))

E daí a gente tem:

1 = A (x^2 + 1) + (B x + C) ( x + 1 )

1 = A x^2 + A + B x^2 + B x + C x + C

1 = x^2 (A + B) + x (B + C) + A + C

  • A + B = 0
  • B + C = 0
  • A + C = 1

E ai chegamos em: A = (1)/(2) , B = - (1)/(2) e C = (1)/(2) .

Passo 2

Agora podemos reescrever nossa integral como:

int_0^b (1)/(2 (x + 1)) ((- x + 1))/(2 ( x^2 + 1 )) d x

Vamos separar as integrais agora pela propriedade da adição e multiplicar pelas constantes:

(1)/(2) int_0^b (1)/(x + 1) d x + (1)/(2) int_0^b - (x)/(x^2 + 1) d x + (1)/(2) int_0^b (1)/(x^2 + 1) d x

Agora vamos resolver cada integral separadamente, e depois somá-las.

Passo 3

  • (1)/(2) int_0^b (1)/(x + 1) d x : lembrando que a integral de (1)/(x) é ln x , nesse caso temos: (1)/(2) ln |x + 1| ] (b)/(0)

  • (1)/(2) int_0^b - (x)/(x^2 + 1) d x : fazendo u = x^2 + 1 teremos d u = 2 x d x -> x d x = (d u)/(2)

    • (1)/(2) int - (d u)/(2 u) -> - (1)/(4) ln u

    E então, voltando à variável x, temos: - (1)/(4) ln (x^2 + 1) ] (b)/(0)

  • (1)/(2) int_0^b (1)/(x^2 + 1) d x : lembrando que derivada de a r c t g x = (1)/(x^2 + 1) , a integral resulta em (1)/(2) (a r c t g (x^2 + 1)] (b)/(0)

Passo 4

Juntando tudo, temos:

(1)/(2) ln |x + 1| - (1)/(4) ln (x^2 + 1) + (1)/(2) a r c t g x ] (b)/(0)

Vamos jogar no limite agora então:

underset(b -> oo)(lim) ( (1)/(2) ln |x + 1| - (1)/(4) ln (x^2 + 1) + (1)/(2) a r c t g x ] (b)/(0) )

underset(b -> oo)(lim ) (1)/(2) l n ( | b + 1 | ) - (1)/(4) ln (b^2 + 1) + (1)/(2) a c r c t g b - ( (1)/(2) ln 1 - (1)/(4) ln 1 + (1)/(2) a r c t g 0 )

A parte em negrito resulta em zero, então nos sobra:

underset(b -> oo)(l i m ) - (1)/(2) ln 1 - (1)/(4) ln 1 + (1)/(2) + (1)/(2) ((pi)/(2)) = (pi)/(4)

Resposta

int_0^(oo) (d x)/(( x + 1 ) ( x^2 + 1 )) = (pi)/(4)

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