Quais das integrais impróprias convergem e quais divergem?

∫ 1 ∞ ln ⁡ z   z d z  

Passo 1

Fala ai!!

Como temos um dos limites de integração - ∞ , estamos diante de uma integral imprópria.

Quando temos ∫ a ∞ f ( x )   d x teremos que calcular o limite. Assim:

lim a → ∞ ⁡ ∫ a b f x   d x

Se o limite existir, isto é, for um número finito dizemos que a integral é convergente. Se ao calcular o limite encontramos ± ∞ , então dizemos que é divergente.

Então vamos calcular a integral dada:

∫ 1 ∞ ln ⁡ z   z d z  

Vamos resolver usando integração por parte, chamaremos de u = ,   l o g o   ,   z d u = d z . Então:

∫ u z z d z =   u 2 2 + C = ln 2 ⁡ z 2

lim z → 0 ⁡ ln 2 ⁡ z 2 = 0

= lim z → ∞ ⁡ ln 2 ⁡ z 2 = ∞

Portanto a integral é divergente

Resposta

Divergente

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