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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 56

Calcule a integral int_1^e (sqrt(l n x))/(x) d x

Passo 1

Perceba que não temos uma primitiva de cara para essa função. Então, vamos ter que usar alguma forma pra sair dessa. A ideia é usar substituição pra poder ficar com uma variável elevada a uma potência que é algo que a gente já sabe resolver, blz?

Então ,chame

u = l n x => d u = (1)/(x) d x

Vejamos como vai ficar os limites de integração,

x = 1 => u = 0

x = e => u = 1

Passo 2

Substituindo a mudança de variáveis e os novos limites de integração,

int_1^e (sqrt(l n x))/(x) d x = int_1^e (sqrt(u))/(x) d x = int_0^1 u^((1)/(2)) d u

Passo 3

Resolvendo a integral,

int_0^1 u^((1)/(2)) d u = [(u^((3)/(2)))/((3)/(2))]_0^1 = (1)/((2)/(3)) = (2)/(3)

Resposta

int_1^e (sqrt(l n x))/(x) d x = (2)/(3)

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