Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.4 - Ex. 27

Nos exercícios de 15 a 36, calcule a integral indefinida. (27) ∫ 2 x ³ x 2 - 4 d x

Passo 1

Nessa questão aqui vamos usar uma coisa que aprendemos no ensino médio e que nunca achamos que fossemos aplicar. Esse momento chegou! Temos na nossa integral uma divisão de polinômios que precisa ser efetuada para conseguirmos resolvê-la.

Podemos escrever da seguitne forma:

2 x 3 = 2 x x 2 - 4 + 8 x

Vamos dividir os dois lados da expressão por x 2 - 4 .

2 x 3 x 2 - 4 = 2 x x 2 - 4 x 2 - 4 + 8 x x 2 - 4

Fazendo as possíveis simplificações na expressão, temos:

2 x 3 x 2 - 4 = 2 x + 8 x x 2 - 4

Depois da divisão polinomial, conseguimos encontrar uma forma simplificada da expressão inicial, possibilitando a resolução da nossa integral! Vamos substituir ela para ver como fica:

f x =   ∫ 2 x 3 x 2 - 4 d x = ∫ 2 x + 8 x x 2 - 4 d x f x = ∫ 2 x   d x + ∫ 4 × 2 x x 2 - 4 d x

A primeira integral é tranquilíssima de resolver né, galera? Vamos integrar pra ver o resultado:

∫ 2 x d x = 2 x 2 2 + C = x ²

Passo 2

A segunda integral pode ser facilmente resolvida usando o método da subsituição. Vamos fazer u = x 2 - 4 → d u = 2 x d x   e substituir na integral:

4 ∫ 2 x x 2 - 4 d x = 4 ∫ d u u

Agora está mais fácil de resolver! Essa integral já é uma velha conhecida nossa.

4 ∫ d u u = 4 ln ⁡ u + C

Se começamos a questão com a variável x , vamos voltar para ela a fim de escrever parte da resposta.

4 ln ⁡ x 2 - 4 + C

Resposta

O resultado é:

∫ 2 x ³ x 2 - 4 d x = x 2 + 4 ln ⁡ x 2 - 4 + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

j) ∫ 0 1 s s 2 + 1d s
d) ∫ 0 1 x1 - x 2d x
c) ∫ 1 2 x x 2 - 1 5d x
t) ∫ π 3 π 2 s e n 3 x d x
7- Calcule.n) ∫ - 1 1 x 3 x 2 + 3 10 d x