Nos exercícios de 15 a 36, calcule a integral indefinida. (20) ∫ ( 2 x - 1 )   d x x ( x - 1 )

Passo 1

Da integral que nos foi dada, vamos só fazer uma pequana conta ali no denominador, só para deixar com uma cara mais amigável. Vamos aplicar a distributiva lá.

f x =   ∫ 2 x - 1 d x x x - 1 = ∫ 2 x - 1 d x x 2 - x

Se você observar bem, a expressão que temos no numerador ( 2 x - 1 ) é a derivada da expressão que temos no denominador ( x 2 - x ) ! Isso já nos dá a pista de que podemos usar o método da substituição para resolver essa integral. Vamos fazer o seguinte: u = x 2 - x → d u = 2 x - 1 d x . Temos esse termo que acomapnha d x na nossa integral, certo? Então, só nos reta substituir para calcular o valor da integral!

f u = ∫ d u u

Passo 2

Vamos cair pra dentro dessa solução agora:

f u = ∫ d u u f u = ln ⁡ u + C

A gente começou a questão em função de x , certo? Então precisamos voltar pra ela! Como definimos lá no início que u = x 2 - x , f x = ln ⁡ x 2 - x + C

Resposta

O resultado é:

∫ 2 x - 1 d x x x - 1 = ln ⁡ x 2 - x + C

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