Calcule a integral

∫ d r 1 + r  

Passo 1

Para a integral ficar mais agradável, ou seja, mais simples de se resolver vamos fazer uma substituição simples que é a seguinte

u = r + 1 → d u d r = 1 2 r → d r = 2 r   d u  

Dessa forma, conseguimos reescrever nossa integral como sendo

∫ u - 1 u   d u = ∫ ( u u - 1 u )   d u =

Utilizando a linearidade das integrais, podemos fazer

∫ 1   d u - ∫ 1 u   d u

Passo 2

Podemos, agora, resolver cada integral separadamente e depois juntar os resultados, lembrando de retornar a variável r

i ∫ 1   d u =   u + c = r + 1 + c

i i   ∫ 1 u   d u = ln ⁡ u + c = ln ⁡ u + c = ln ⁡ r + 1 + c  

∴ r + 1 -   ln ⁡ r + 1 + c    

Resposta

r + 1 -   ln ⁡ r + 1 + c

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