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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 97

Calcule a integral

int (d r)/(1 + sqrt(r))

Passo 1

Para a integral ficar mais agradável, ou seja, mais simples de se resolver vamos fazer uma substituição simples que é a seguinte

u = sqrt(r) + 1 -> (d u)/(d r) = (1)/(2 sqrt(r)) -> d r = 2 sqrt(r) d u

Dessa forma, conseguimos reescrever nossa integral como sendo

int (u - 1)/(u) d u = int ( (u)/(u) - (1)/(u) ) d u =

Utilizando a linearidade das integrais, podemos fazer

int 1 d u - int (1)/(u) d u

Passo 2

Podemos, agora, resolver cada integral separadamente e depois juntar os resultados, lembrando de retornar a variável r

(i) int 1 d u = u + c = (sqrt(r) + 1) + c

(i i) int (1)/(u) d u = ln |u| + c = ln |u| + c = ln sqrt(r) + 1 + c

:. (sqrt(r) + 1) - ln sqrt(r) + 1 + c

Resposta

(sqrt(r) + 1) - ln sqrt(r) + 1 + c

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