Encontre a integral indefinida geral.

Opa, bora calcular essa integral aqui:

Pra isso vamos utilizar o método de substituição simples!

Mas o que é a integração por substituição?

Lembra que a integral é a operação contraria da primitiva? Então temos que ela deve ser realmente o inverso da regra da cadeia. De acordo com a regra da cadeia para a derivada temos:

Na integração por substituição, pegamos uma expressão da forma e encontramos sua primitiva.

A integração por substituição nos ajuda a simplificar uma expressão confusa, transformando a função "interna" na variável. Então temos que encontrar o resultado dessa integral:

Para simplificar essa integral, colocamos uma nova variável tal que . Isso significa que .

Substituindo essas expressões na integral, obtemos:

A integral agora é muito mais simples de resolver, pois é uma função direta de . Após integrar em relação a , obtemos .

Finalmente, substituímos de volta por para obter a resposta na variável original .

Uma dica legal pra escolher quem vai ser o é pensar:

“o que, que, se eu substituir por vai transformar essa integral em uma integral mais simples de resolver?!”

Nesse caso temos:

Aqui a sacada é a seguinte, a derivada de é , que está na nossa integral original. Então quando a gente substituir ela vai ser cortada, deixando a nossa integral só em função de . E é exatamente isso que queremos!

Agora calculamos :

Repara que o já está na nossa integral original?! Quando a gente substituir vamos poder cortar e a nossa integral vai ficar toda em função de !

Substituindo:

Agora ficamos com uma integral bem simplinha de resolver!