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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.5 - Ex. 21

Encontre a integral indefinida geral.

∫   ln ⁡ x   2 x d x

Passo 1

Opa! Blz?

Aqui temos a seguinte integral para ser calculada:

∫ ln ⁡ x 2 x d x

Pense na integração como seguir uma receita de bolo. Às vezes, a receita tem passos complicados e você decide trocar um ingrediente por outro para simplificar. A integração por substituição é como trocar um ingrediente complicado por um mais simples.

Então temos que identificar o ingrediente mais complicado, neste caso ln ⁡ x , e é ele que chamaremos de u . Depois precisamos derivar u em relação a x , ela deve substituir o restante da nossa função (algumas vezes precisamos de alguns ajustes).

E porque ela funciona?

Lembra que a integral é a operação contraria da primitiva? Então temos que ela deve ser realmente o inverso da regra da cadeia. De acordo com a regra da cadeia para a derivada temos:

f g x ' = f ' g x ⋅ g ' ( x )

Na integração por substituição, pegamos uma expressão da forma f ' g x ⋅ g ' ( x ) e encontramos sua primitiva.

A integração por substituição nos ajuda a simplificar uma expressão confusa, transformando a função "interna" na variável. Então temos que encontrar o resultado dessa integral:

∫ f ' g x ⋅ g ' ( x ) d x

Para simplificar essa integral, colocamos uma nova variável u tal que u = g ( x ) . Isso significa que d u = g ' ( x ) .

Substituindo essas expressões na integral, obtemos:

∫ f ' g x ⋅ g ' ( x ) d x = ∫ f ' ( u ) ⋅ d u

A integral agora é muito mais simples de resolver, pois f ' ( u ) é uma função direta de u . Após integrar em relação a u , obtemos f ( u ) + C .

Finalmente, substituímos u de volta por g ( x ) para obter a resposta na variável original x .

Antes de partimos para os cálculos, precisaremos somente da seguinte integral da potência:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Passo 2

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um   ln ⁡ x e uma função com 1 x , a mais complicada entre as duas é o ln ⁡ x , portanto:

u = ln ⁡ x

Vamos agora achar a derivada de u , derivando:

u = ln ⁡ x

d u = 1 x   d x

Vamos agora fazer a substituição:

∫ ln ⁡ x 2 x d x = ∫ u 2 d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 3

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando a primitiva da potência do passo 1:

∫ u 2 d u = u 2 + 1 2 + 1 = u 3 3 + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso aqui foi u = ln ⁡ x

∫ ln ⁡ x 2 x d x = ∫ u 2 d u = u 3 3 + C = ln ⁡ x 3 3 + C

Resposta

∫ ln ⁡ x 2 x d x = ln ⁡ x 3 3 + C

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