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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.5 - Ex. 19

Encontre a integral indefinida geral.

∫ a + b x 2 3 a x + b x 3 d x

Passo 1

Fala aí, galerinha!

Nesse problema temos que calcular a integral:

∫ a + b x 2 3 a x + b x 3 d x

Tem ideia de como fazemos isso?

Podemos imaginar que calcular essa integral na forma como está vai ser extremamente dificil.

Então para facilitar nossa vida podemos aplicar o método da substituição:

∫ f x d x → ∫ g u d u

Pra isso, podemos seguir um scriptzinho:

  • Substituir parte da função f x por u .
  • Derivar u em relação a x para obter d u / d x e isolar d x em um lado da igualdade.
  • Substituir u e d x na integral.
  • Calcular a integral em relação a u .
  • Voltar o resultado para x substituindo u de volta para x .

Lembrando que encontrar a substituição correta depende da nossa sagacidade em conseguir visualizar como podemos simplificar a integral... então quanto mais questões fizermos, melhor vai ser.

Sacou? Bora começar!

Passo 2

Nossa função de integração é dada por:

f x = a + b x 2 3 a x + b x 3

Então podemos substituir a função dentro da raiz por u .

u = 3 a x + b x 3

Derivando em relação a x pela regra da potência e isolando d x em um lado da igualdade:

d u d x = 3 a + 3 b x 2 = 3 a + b x 2

d x = 1 3 a + b x 2 d u

Substituindo u e d x na integral...

∫ a + b x 2 3 a x + b x 3 d x → ∫ a + b x 2 u 1 3 a + b x 2 d u

Simplificando a + b x 2 ...

1 3 ∫ u - 1 2 d u

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora essa integral ficou muito mais simples, não é?

Para resolvê-la, basta aplicarmos a regra da potência:

∫ a x n d x = a x n + 1 n + 1 + C

Ou seja:

1 3 ∫ u - 1 2 d u = 1 3 u - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 + C = 1 3 u 1 2 1 2 + C

1 3 ∫ u - 1 2 d u = 2 3 u + C

Por fim, temos que voltar para x , então aplicamos a substituição novamente.

∫ a + b x 2 3 a x + b x 3 d x = 2 3 3 a x + b x 3 + C

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

∫ a + b x 2 3 a x + b x 3 d x = 2 3 3 a x + b x 3 + C  

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