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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 57

Calcule a integral.

int x root(3)(x + c) d x

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já tá simplificada, vamos então tentar fazer uma Substituição. Temos uma raiz, podemos tentar fazer com que u seja essa raiz, vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = root(3)(x + c) -> u^3 = x + c -> x = u^3 - c

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

3 u^2 d u = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int x root(3)(x + c) d x = int (u^3 - c) u 3 u^2 d u = int 3 u^6 - 3 c u^3 d u = int 3 u^6 d u + int - 3 c u^3 d u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Então ficamos com:

int 3 u^6 d u + int - 3 c u^3 d u = 3 int u^6 d u - 3 c int u^3 d u = 3 * ((u^(6 + 1))/(6 + 1)) - 3 c * ((u^(3 + 1))/(3 + 1)) + C = (3 u^7)/(7) - (3 c u^4)/(4) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso u = root(3)(x + c) :

int x root(3)(x + c) d x = (3 u^7)/(7) - (3 c u^4)/(4) + C = (3 (root(3)(x + c))^7)/(7) - (3 c (root(3)(x + c))^4)/(4) + C

Resposta

int x root(3)(x + c) d x = (3 (root(3)(x + c))^7)/(7) - (3 c (root(3)(x + c))^4)/(4) + C

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