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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.5 - Ex. 48

Calcule a integral.

int (x)/(x^4 - a^4) d x

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já tá simplificada, vamos então tentar fazer uma Substituição. Temos um denominador com uma expressão elevada a 4 , podemos tentar fazer com que u seja uma parte dessa expressão, vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = x^2

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

d u = 2 x d x -> x d x = (d u)/(2)

Fazendo a substituição ficamos com:

int (x)/(x^4 - a^4) d x = int (1)/(2 ( u^2 - ( a^2 ) ² )) d u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int (d x)/(x^2 - a^2) = (1)/(2 a) ln |(x - a)/(x + a)| + C

Então ficamos com:

int (1)/(2 ( u^2 - ( a^2 ) ² )) d u = (1)/(2) int (1)/(u^2 - ( a^2 ) ²) d u = (1)/(2) * (1)/(2 a^2) ln |(u - a^2)/(u + a^2)| + C = (1)/(4 a^2) ln |(u - a^2)/(u + a^2)| + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso u = x^2 :

int (x)/(x^4 - a^4) d x = int (1)/(2 ( u^2 - ( a^2 ) ² )) d u = (1)/(4 a^2) ln |(u - a^2)/(u + a^2)| + C = (1)/(4 a^2) ln |(x^2 - a^2)/(x^2 + a^2)| + C

Resposta

int (x)/(x^4 - a^4) d x = (1)/(4 a^2) ln |(x^2 - a^2)/(x^2 + a^2)| + C

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