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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.1 - Ex. 51

Resolva o problema de valor inicial

(d y)/(d x) = 1 + (1)/(x)

y (1) = 3

Passo 1

Calma, muita calma nessa hora! Não se assustem com a questão. Em outras palavras ela nos pede para resolver uma equação diferencial ordinária (EDO). Apesar deste tópico não ter sido estudado ainda, podemos resolver a questão com o que já aprendemos. O procedimento é o seguinte: vamos separa os diferenciais d y e d t , deixando cada um deles em um membro. Vejamos um exemplo abaixo.

(d y)/(d t) = (f ( t ))/(g ( y ))

g (y) d y = f (t) d t

Se g (y) = 1 , basta que nós integremos ambos os membros para descobrir o valor de y . Isto é:

y (t) = int f (t) d t

E consequentemente,

y (t) = F (t) + k

A questão do valor inicial é para descobrir quem é o nosso k .

Passo 2

Vejamos abaixo a EDO que devemos resolver.

(d y)/(d x) = 1 + (1)/(x)

Vamos separar os diferenciais. Desta forma, temos:

d y = (1 + (1)/(x)) d x

Integrando ambos os lados, obtemos:

int d y = int (1 + (1)/(x)) d x

y = x + ln |x| + k

E assim conseguimos resolver a EDO!

Passo 3

Agora que resolvemos a EDO, nós já finalizamos a questão? A resposta para esta pergunta é bem simples: Não! Ainda não resolvemos o problema de valor inicial. Para isto, basta substituir no lugar de x = 1 , e com isto obtemos y = 3 . Temos então:

y (1) = x + ln |x| + k = 0

1 + ln |1| + k = 0

1 + 0 + k = 0

k = - 1

Portanto, a nossa solução é:

y = x + ln |x| - 1

Resposta

y = x + ln |x| - 1

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