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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.5 - Ex. 43

Calcule a integral.

int e^x sqrt(1 + e^x) d x

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já tá simplificada, vamos então tentar fazer uma Substituição. Temos uma função exponencial dentro da raiz, podemos tentar fazer com que u seja o conteúdo dessa raiz, vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = 1 + e^x

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

d u = e^x d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int e^x sqrt(1 + e^x) d x = int sqrt(u) d u = int u^((1)/(2)) d u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Então ficamos com:

int u^((1)/(2)) d u = (u^((1)/(2) + 1))/((1)/(2) + 1) + C = (u^((3)/(2)))/((3)/(2)) + C = (2 u^((3)/(2)))/(3) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso u = 1 + e^x :

int e^x sqrt(1 + e^x) d x = int u^((1)/(2)) d u = (2 u^((3)/(2)))/(3) + C = (2 (1 + e^x)^((3)/(2)))/(3) + C

Resposta

int e^x sqrt(1 + e^x) d x = (2 (1 + e^x)^((3)/(2)))/(3) + C

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