Calcule a integral.

∫ e x 1 + e x d x

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já tá simplificada, vamos então tentar fazer uma Substituição. Temos uma função exponencial dentro da raiz, podemos tentar fazer com que u seja o conteúdo dessa raiz, vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = 1 + e x

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

d u =   e x d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ e x 1 + e x d x = ∫ u d u = ∫ u 1 2 d u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Então ficamos com:

∫ u 1 2 d u = u 1 2 + 1 1 2 + 1 + C = u 3 2 3 2 + C = 2 u 3 2 3 + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso u = 1 + e x :

∫ e x 1 + e x d x = ∫ u 1 2 d u = 2 u 3 2 3 + C = 2 1 + e x 3 2 3 + C

Resposta

∫ e x 1 + e x d x = 2 1 + e x 3 2 3 + C

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