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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.4 - Ex. 19

Calcule a integral

int (x^2 + 1)/((x - 3) (x - 2)^2) d x

Passo 1

Opa, bora resolver essa questão! Nossa integral é a seguinte:

I = int (x^2 + 1)/((x - 3) (x - 2)^2) d x

A ideia nesse tipo de questão é fatorar os polinômios e usar frações parciais. Como o polinômio já está fatorado vamos dividir em frações parciais!

Passo 2

Como temos uma raiz dupla a ideia vai ser a seguinte:

(x^2 + 1)/((x - 3) (x - 2)^2) = (A)/(( x - 3 )) + (B)/((x - 2)) + (C)/((x - 2)^2)

Então:

(x^2 + 1)/((x - 3) (x - 2)^2) = (A (x - 2)^2 + B (x - 2) (x - 3) + C ( x - 2 ))/((x - 3) (x - 2)^2)

Arrumando as coisas:

(x^2 + 1)/((x - 3) (x - 2)^2) = (A (x^2 - 4 x + 4) + B (x^2 - 5 x + 6) + C ( x - 2 ))/((x - 3) (x - 2)^2)

Logo,

x^2 + 1 = x^2 (A + B) + x (- 4 A - 5 B + C) + ( 4 A + 6 B - 2 C )

Assim, temos o seguinte sistema:

{[[A + B = 1],[- 4 A - 5 B + C = 0],[4 A + 6 B - 2 C = 1]])

Resolvendo o sistema, temos:

A = 10 , B = - 9 e C = - 5

Passo 3

Voltando para nossa expressão:

(x^2 + 1)/((x - 3) (x - 2)^2) = (10)/(( x - 3 )) + (- 9)/((x - 2)) + (- 5)/((x - 2)^2)

I = int ((10)/(( x - 3 )) + (- 9)/((x - 2)) + (- 5)/((x - 2)^2)) d x

Quebrando em duas partes:

I = int (10)/(( x - 3 )) d x + int (- 9)/((x - 2)) d x + int (- 5)/((x - 2)^2) d x

Tirando o que é constante da integral:

I = 10 * int (1)/((x - 3)) d x - 9 * int (1)/((x - 2)) d x - 5 * int (1)/((x - 2)^2) d x

Passo 4

Vamos resolver cada integral:

int (1)/((x - 3)) d x

Podemos resolver por substituição simples, fazendo:

u = x - 3

(d u)/(d x) = 1 -> d x = d u

int (1)/(u) d x = ln | u | + C = ln | x - 3 | + C

Usando a mesma técnica e fazendo u = x - 2 , temos:

int (1)/((x - 2)) d x = int (1)/(u) d x = ln | u | + C = ln | x - 2 | + C

Agora a última integral:

int (1)/((x - 2)^2) d x

Também vamos usar substituição simples:

u = x - 2

(d u)/(d x) = 1 -> d x = d u

int (1)/(u^2) d u = - (1)/(u) + C = - (1)/(x - 2) + C

Agora a gente pode juntar tudo!

I = 10 * int (1)/((x - 3)) d x - 9 * int (1)/((x - 2)) d x - 5 * int (1)/((x - 2)^2) d x

I = 10 ln |x - 3| - 9 ln |x - 2| + (5)/(x - 2) + C

Aweeee!!

Resposta

I = 10 ln |x - 3| - 9 ln |x - 2| + (5)/(x - 2) + C

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