Calcule a integral

∫ x 2 + 1 x - 3 x - 2 2 d x

Passo 1

Opa, bora resolver essa questão! Nossa integral é a seguinte:

I = ∫ x 2 + 1 x - 3 x - 2 2 d x

A ideia nesse tipo de questão é fatorar os polinômios e usar frações parciais. Como o polinômio já está fatorado vamos dividir em frações parciais!

Passo 2

Como temos uma raiz dupla a ideia vai ser a seguinte:

x 2 + 1 x - 3 x - 2 2 = A ( x - 3 ) + B x - 2 + C x - 2 2

Então:

x 2 + 1 x - 3 x - 2 2 = A x - 2 2 + B x - 2 x - 3 + C ( x - 2 ) x - 3 x - 2 2

Arrumando as coisas:

x 2 + 1 x - 3 x - 2 2 = A x 2 - 4 x + 4 + B x 2 - 5 x + 6 + C ( x - 2 ) x - 3 x - 2 2

Logo,

x 2 + 1 = x 2 A + B + x - 4 A - 5 B + C + ( 4 A + 6 B - 2 C )

Assim, temos o seguinte sistema:

A + B = 1 - 4 A - 5 B + C = 0 4 A + 6 B - 2 C = 1

Resolvendo o sistema, temos:

A = 10 , B = - 9 e C = - 5

Passo 3

Voltando para nossa expressão:

x 2 + 1 x - 3 x - 2 2 = 10 ( x - 3 ) + - 9 x - 2 + - 5 x - 2 2

I = ∫ 10 ( x - 3 ) + - 9 x - 2 + - 5 x - 2 2 d x  

Quebrando em duas partes:

I = ∫ 10 ( x - 3 ) d x + ∫ - 9 x - 2 d x + ∫ - 5 x - 2 2 d x

Tirando o que é constante da integral:

I = 10 ⋅ ∫ 1 x - 3 d x - 9 ⋅ ∫ 1 x - 2 d x - 5 ⋅ ∫ 1 x - 2 2 d x

Passo 4

Vamos resolver cada integral:

∫ 1 x - 3 d x

Podemos resolver por substituição simples, fazendo:

u = x - 3

d u d x = 1 → d x = d u

∫ 1 u d x = ln ⁡ | u | + C = ln ⁡ | x - 3 | + C

Usando a mesma técnica e fazendo u = x - 2 , temos:

∫ 1 x - 2 d x = ∫ 1 u d x = ln ⁡ | u | + C = ln ⁡ | x - 2 | + C

Agora a última integral:

∫ 1 x - 2 2 d x

Também vamos usar substituição simples:

u = x - 2

d u d x = 1 → d x = d u

∫ 1 u 2 d u = - 1 u + C = - 1 x - 2 + C

Agora a gente pode juntar tudo!

I = 10 ⋅ ∫ 1 x - 3 d x - 9 ⋅ ∫ 1 x - 2 d x - 5 ⋅ ∫ 1 x - 2 2 d x

I = 10 ln ⁡ x - 3 - 9 ln ⁡ x - 2 + 5 x - 2 + C

Aweeee!!

Resposta

I = 10 ln ⁡ x - 3 - 9 ln ⁡ x - 2 + 5 x - 2 + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados