Para quais valores de r a função y = e r x satisfaz a equação diferencial y ' ' - 4 y ' + y = 0 ?

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com você?

Bom, essa questão deu pra gente a equação

y ' ' - 4 y ' + y = 0

E pediu pra gente dizer para quais valores de r a função y = e r x satisfaz essa equação.

Então a ideia aqui é derivar y achando y ' e y ' ' e assim, substituí-las na equação, e tentar entende quais são os valores de r que fazem com que isso tudo seja igual a zero.

Assim, diremos que estamos impondo alguma restrição sobre os valores de r que tornam a sentença verdadeira.

Passo 2

Nossa função é:

y = e r x

E queremos provar que

y ' ' - 4 y ' + y = 0

Então, vamos começar derivando y .

Perceba que ela é uma função composta, do tipo

y = e u

onde

u = r x

E sua derivada é dada pela regra da cadeia fazendo:

y ' = e u = e u ⋅ u '

Que nos dará:

y ' = e r x ⋅ r

Ou melhor:

y ' = r e r x

Passo 3

Vamos derivar novamente. Lembrando que r é uma constante e aplicando novamente a regra da cadeia, teremos:

y ' ' = r 2 e r x

Maravilha.

Passo 4

Vamos substituir y , y ' e y ' ' na equação:

y ' ' - 4 y ' + y = 0

E teremos:

r 2 e r x - 4 r e r x + e r x = 0

Colocando e r x em evidência:

e r x ∙ r 2 - 4 r + 1 = 0

Repara que para a expressão zerar, o termo r 2 - 4 r + 1 precisa ser zero.

Desta forma para descobrirmos o valor de r que zera este termo vamos calcular suas raízes usando Bháskara. Assim:

a = 1   ;   b = - 4   ; c = 1

r = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

r = - ( - 4 ) ± ( - 4 ) 2 - 4 ∙ 1 ∙ 1 2 ∙ 1

r = 4 ± 12 2

r 1 = 2 + 3  

r 2 = 2 - 3

E prontinho, esses são os possíveis valores de r que tornam a equação verdadeira.

Resposta

r 1 = 2 + 3  

r 2 = 2 - 3

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