Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.4 - Ex. 76
Para quais valores de r a função satisfaz a equação diferencial ?
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom, essa questão deu pra gente a equação
E pediu pra gente dizer para quais valores de a função satisfaz essa equação.
Então a ideia aqui é derivar achando e e assim, substituí-las na equação, e tentar entende quais são os valores de que fazem com que isso tudo seja igual a zero.
Assim, diremos que estamos impondo alguma restrição sobre os valores de que tornam a sentença verdadeira.
Passo 2
Nossa função é:
E queremos provar que
Então, vamos começar derivando .
Perceba que ela é uma função composta, do tipo
onde
E sua derivada é dada pela regra da cadeia fazendo:
Que nos dará:
Ou melhor:
Passo 3
Vamos derivar novamente. Lembrando que é uma constante e aplicando novamente a regra da cadeia, teremos:
Maravilha.
Passo 4
Vamos substituir , e na equação:
E teremos:
Colocando em evidência:
Repara que para a expressão zerar, o termo precisa ser zero.
Desta forma para descobrirmos o valor de que zera este termo vamos calcular suas raízes usando Bháskara. Assim:
E prontinho, esses são os possíveis valores de que tornam a equação verdadeira.