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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 14

Calcule a integral

int (1)/(( x + a ) ( x + b )) d x

Passo 1

Opa, bora calcular uma integralzinha?! Temos:

int (1)/(( x + a ) ( x + b )) d x

Pra calcular ela a gente vai simplificar a função pra reescrever a integral de uma forma que seja mais fácil calcula-la! Para isso vamos usar frações parciais na função:

(1)/((x + a) (x + b))

Podemos dizer que:

(1)/((x + a) (x + b)) = (C)/(x + a) + (D)/(x + b)

Afinal:

(1)/((x + a) (x + b)) = (C (x + b) + D (x + a))/((x + a) (x + b))

Passo 2

Então podemos dizer que:

C (x + b) + D (x + a) = 1

Abrindo e reorganizando temos:

C x + C b + D x + D a = 1

x ( C + D ) + C b + D a = 1

Assim, temos o seguinte sistema:

{[[C + D = 0],[b C + a D = 1]])

Da primeira equação:

C = - D

Substituindo na segunda:

b (- D) + a D = 1

D (a - b) = 1

Logo:

D = (1)/(a - b) e C = (1)/(b - a)

a e b são constantes, assim como D e C , então não vamos substituir por agora e calcular a integral:

int (D)/(x + a) d x + int (C)/(x + b) d x

Passo 3

Vamos calcular cada integral separadamente:

int (D)/(x + a) d x

Podemos resolver por substituição simples, fazendo:

u = x + a

(d u)/(d x) = 1 -> d x = d u

Ficamos com:

int (D)/(u) d u = D ln |u| + C = D ln |x + a| + M

Onde M é a constante de integração. Da mesma forma:

int (C)/(u) d u = C ln |u| + N = C ln |x + b| + N

Somando as duas integrais:

int (D)/(x + a) d x + int (C)/(x + b) d x = D ln |x + a| + C ln |x + b| + F

Onde F é a constante de integração igual a M + N .

Agora a gente lembra que:

D = (1)/(a - b) e C = (1)/(b - a)

Então:

D ln |x + a| + C ln |x + b| + F = (1)/(a - b) ln |x + a| + (1)/(b - a) ln |x + b| + F

Chegamooos:

int (1)/(( x + a ) ( x + b )) d x = (1)/(a - b) ln |x + a| + (1)/(b - a) ln |x + b| + F

Resposta

int (1)/(( x + a ) ( x + b )) d x = (1)/(a - b) ln |x + a| + (1)/(b - a) ln |x + b| + F , a != b

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