Calcule a integral

∫ 1 ( x + a ) ( x + b ) d x

Passo 1

Opa, bora calcular uma integralzinha?! Temos:

∫ 1 ( x + a ) ( x + b ) d x

Pra calcular ela a gente vai simplificar a função pra reescrever a integral de uma forma que seja mais fácil calcula-la! Para isso vamos usar frações parciais na função:

1 x + a x + b

Podemos dizer que:

1 x + a x + b = C x + a + D x + b

Afinal:

1 x + a x + b = C x + b + D x + a x + a x + b

Passo 2

Então podemos dizer que:

C x + b + D x + a = 1

Abrindo e reorganizando temos:

C x + C b + D x + D a = 1

x ( C + D ) + C b + D a = 1

Assim, temos o seguinte sistema:

C + D = 0 b C + a D = 1

Da primeira equação:

C = - D

Substituindo na segunda:

b - D + a D = 1

D a - b = 1

Logo:

D = 1 a - b e C = 1 b - a

a e b são constantes, assim como D e C , então não vamos substituir por agora e calcular a integral:

∫ D x + a d x + ∫ C x + b d x

Passo 3

Vamos calcular cada integral separadamente:

∫ D x + a d x

Podemos resolver por substituição simples, fazendo:

u = x + a

d u d x = 1 → d x = d u

Ficamos com:

∫ D u d u = D ln ⁡ u + C = D ln ⁡ x + a + M

Onde M é a constante de integração. Da mesma forma:

∫ C u d u = C ln ⁡ u + N = C ln ⁡ x + b + N

Somando as duas integrais:

∫ D x + a d x + ∫ C x + b d x = D ln ⁡ x + a + C ln ⁡ x + b + F

Onde F é a constante de integração igual a M + N .

Agora a gente lembra que:

D = 1 a - b e C = 1 b - a

Então:

D ln ⁡ x + a + C ln ⁡ x + b + F = 1 a - b ln ⁡ x + a + 1 b - a ln ⁡ x + b + F

Chegamooos:

∫ 1 ( x + a ) ( x + b ) d x = 1 a - b ln ⁡ x + a + 1 b - a ln ⁡ x + b + F

Resposta

∫ 1 ( x + a ) ( x + b ) d x = 1 a - b ln ⁡ x + a + 1 b - a ln ⁡ x + b + F ,     a ≠ b

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