Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.9 - Ex. 25
Encontre .
Passo 1
E aí, tudo certinho? O enunciado nos dá a segunda derivada
de uma função desconhecida , e pede pra gente encontrar quem é essa função
Para resolvermos a questão, precisamos responder à seguinte pergunta: qual é a função que se eu derivar duas vezes vou obter ?
Isso parece muito com o conceito de primitiva, né? Mas você lembra o que é ser uma primitiva de uma função 🤔?
Bem, uma primitiva da função , em um determinado intervalo , é uma função derivável cuja derivada é igual a . Isto é:
Mas fique atento aqui, se somarmos uma constante qualquer a primitiva , sua derivada ainda será igual a (pois a derivada de uma constante é zero). Então, a primitiva mais geral de é a função
onde é uma constante qualquer.
Vamos fazer o seguinte, para encontrar a função temos que encontrar as duas primitivas abaixo:
- Uma primitiva de ou seja, é tal que
- Uma primitiva de ou seja, é tal que
⚠️Encontrando essas duas primitivas, precisamos adicionar uma constante para termos a primitiva mais geral, beleza? Não podemos esquecer disso!
Faremos isso usando a Regra da Potência. Saca só como:
- Uma primitiva de uma potência é dada por
pois a derivada de (usando a Regra da Potência para derivadas) é
O valor de só não poder ser , beleza? Pois nesse caso teríamos zero no denominador e isso não pode, né?
Vamos colocar a mão na massa nos próximos passos e encontrar as primitivas e ? 😊
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primitiva da função dada:
Temos uma função polinomial, então usando a Regra da Potência em cada um dos seus termos:
Simplificando e adicionando a constante para a primitiva mais geral:
onde é uma constante qualquer.
Dessa forma, temos que
é a primitiva da função
Passo 3
Vamos calcular a primitiva da função
encontrada no passo anterior.
Usando novamente a regra da potência em cada um dos seus termos, então a primitiva da função é dada por:
Simplificando e adicionando a constante:
onde é uma constante qualquer.
Dessa forma, temos que
é a primitiva da função
Passo 4
Vamos derivar a função
duas vezes para ver se fizemos tudo certinho.
Bem, como
então temos que
Derivando novamente:
Portanto,
conforme dado no enunciado.
Resposta
A função procurada é dada por:
onde e são constantes quaisquer.