∫ 9 t 2 - 26 t - 5 3 t 2 + 5 t - 2 d t

Passo 1

Primeiro, vamos reescrever o que tá dentro desse integrando

9 t 2 - 26 t - 5 3 t 2 + 5 t - 2

Vamos fazer uma divisão somando e subtraindo 15 t - 6 no numerador

9 t 2 - 26 t - 5 3 t 2 + 5 t - 2 = 9 t 2 + 15 t - 6 + - 26 t - 5 - 15 t + 6 3 t 2 + 5 t - 2

Viu o que apareceu? Apareceu 9 t 2 + 15 t - 6 = 3 ( 3 t 2 + 5 t - 2 ) , assim

9 t 2 + 15 t - 6 + - 26 t - 5 - 15 t + 6 3 t 2 + 5 t - 2 = 3 3 t 2 + 5 t - 2 - 41 t + 1 3 t 2 + 5 t - 2

3 + - 41 t + 1 3 t 2 + 5 t - 2

Show! Isso já facilitou a nossa vida! Agora só temos que reescrecer o segundo termo em frações parciais. Pra isso precisamos das raízes do denominador

3 t 2 + 5 t - 2 = 0 → t = - 5 ± 5 2 - 4 ⋅ 3 ⋅ - 2 2 ⋅ 3 = - 2   o u 1 3

Assim podemos reescrever

3 + - 41 t + 1 3 t 2 + 5 t - 2 = 3 + - 41 t + 1 3 t - 1 3 t + 2

Passo 2

Agora vamos reescrever esse segundo cara em frações parciais

- 41 3 t + 1 3 t - 1 3 t + 2 = A t - 1 3 + B t + 2 = A t + 2 + B t - 1 3 t - 1 3 t + 2

- 41 3 t + 1 3 = A t + 2 + B t - 1 3

Se fizermos t = - 2

- 41 3 - 2 + 1 3 = A - 2 + 2 + B - 2 - 1 3 → 83 3 = B - 7 3 → B = - 83 7

E se fizermos t = 1 / 3

- 41 3 1 3 + 1 3 = A 1 3 + 2 + B 1 3 - 1 3 → - 38 9 = A 7 3 → A = - 38 21

Assim a nossa fração fica

- 38 21 t - 1 3 - 83 7 t + 2

Passo 3

E então a nossa integral fica

∫ 3 - 38 21 1 t - 1 3 - 83 7 1 t + 2 d t

Agora ficou mais tranquilo de calcular essa nossa integral (ainda bem!). Lembrando que ∫ d x x + a = ln ⁡ x + a e que a integral de uma constante é ∫ a d x = a x .

Agora é só partir pro abraço!

3 t - 38 21 ln ⁡ t - 1 3 - 83 7 ln ⁡ t + 2

Só não esquece de uma coisita!!! Tem que colocar a constante C !!!

3 t - 38 21 ln ⁡ t - 1 3 - 83 7 ln ⁡ t + 2 + C

Feshow!

Resposta

∫ 9 t 2 - 26 t - 5 3 t 2 + 5 t - 2 d t = 3 t - 38 21 ln ⁡ t - 1 3 - 83 7 ln ⁡ t + 2 + C

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