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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.5 - Ex. 6

int (9 t^2 - 26 t - 5)/(3 t^2 + 5 t - 2) d t

Passo 1

Primeiro, vamos reescrever o que tá dentro desse integrando

(9 t^2 - 26 t - 5)/(3 t^2 + 5 t - 2)

Vamos fazer uma divisão somando e subtraindo 15 t - 6 no numerador

(9 t^2 - 26 t - 5)/(3 t^2 + 5 t - 2) = (9 t^2 + 15 t - 6 + (- 26 t - 5 - 15 t + 6))/(3 t^2 + 5 t - 2)

Viu o que apareceu? Apareceu 9 t^2 + 15 t - 6 = 3 ( 3 t^2 + 5 t - 2 ) , assim

(9 t^2 + 15 t - 6 + (- 26 t - 5 - 15 t + 6))/(3 t^2 + 5 t - 2) = (3 (3 t^2 + 5 t - 2) - 41 t + 1)/(3 t^2 + 5 t - 2)

3 + (- 41 t + 1)/(3 t^2 + 5 t - 2)

Show! Isso já facilitou a nossa vida! Agora só temos que reescrecer o segundo termo em frações parciais. Pra isso precisamos das raízes do denominador

3 t^2 + 5 t - 2 = 0 -> t = (- 5 +- sqrt(5^2 - 4 * 3 * (- 2)))/(2 * 3) = - 2 o u (1)/(3)

Assim podemos reescrever

3 + (- 41 t + 1)/(3 t^2 + 5 t - 2) = 3 + (- 41 t + 1)/(3 (t - (1)/(3)) (t + 2))

Passo 2

Agora vamos reescrever esse segundo cara em frações parciais

(- (41)/(3) t + (1)/(3))/((t - (1)/(3)) (t + 2)) = (A)/(t - (1)/(3)) + (B)/(t + 2) = (A (t + 2) + B (t - (1)/(3)))/((t - (1)/(3)) (t + 2))

- (41)/(3) t + (1)/(3) = A (t + 2) + B (t - (1)/(3))

Se fizermos t = - 2

- (41)/(3) (- 2) + (1)/(3) = A (- 2 + 2) + B (- 2 - (1)/(3)) -> (83)/(3) = B (- (7)/(3)) -> B = - (83)/(7)

E se fizermos t = 1 // 3

- (41)/(3) ((1)/(3)) + (1)/(3) = A ((1)/(3) + 2) + B ((1)/(3) - (1)/(3)) -> - (38)/(9) = A ((7)/(3)) -> A = - (38)/(21)

Assim a nossa fração fica

- ((38)/(21))/(t - (1)/(3)) - ((83)/(7))/(t + 2)

Passo 3

E então a nossa integral fica

int (3 - (38)/(21) (1)/(t - (1)/(3)) - (83)/(7) (1)/(t + 2)) d t

Agora ficou mais tranquilo de calcular essa nossa integral (ainda bem!). Lembrando que int (d x)/(x + a) = ln (|x + a|) e que a integral de uma constante é int a d x = a x .

Agora é só partir pro abraço!

3 t - (38)/(21) ln (t - (1)/(3)) - (83)/(7) ln (t + 2)

Só não esquece de uma coisita!!! Tem que colocar a constante C !!!

3 t - (38)/(21) ln (t - (1)/(3)) - (83)/(7) ln (t + 2) + C

Feshow!

Resposta

int (9 t^2 - 26 t - 5)/(3 t^2 + 5 t - 2) d t = 3 t - (38)/(21) ln (t - (1)/(3)) - (83)/(7) ln (t + 2) + C

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