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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.5 - Ex. 16

int (5 x^2 - 11 x + 5)/(x^3 - 4 x^2 + 5 x - 2) d x

Passo 1

Primeiro vamos arranjar a equação de forma mais conveniente para resolver as frações parcias. Esse passo é feito manipulando as funções, fazendo que ela fique de forma mais agradável para gente, geralmente usamos as raízes para reescrever as equações.

int (5 x^2 - 11 x + 5)/(( x - 1 )^2 ( x - 2 )) d x

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

(5 x^2 - 11 x + 5)/(( x - 1 )^2 ( x - 2 )) = (A)/(( x - 1 )^2) + (B)/(( x - 1 )) + (C)/(( x - 2 ))

Isolando 5 x^2 - 11 x + 5 , vamos achar

5 x^2 - 11 x + 5 = A (x - 2) + B ( x - 1 ) ( x - 2 ) + C ( x - 1 )^2

Resolvendo o sistema de equações acima, temos:

A = 5 ; B = 4 ; C = 1

Agora substituindo os valores de A, B e C, temos:

(5 x^2 - 11 x + 5)/(( x - 1 )^2 ( x - 2 )) = (5)/(( x - 1 )^2) + (4)/(( x - 1 )) + (1)/(( x - 2 ))

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

int (5 x^2 - 11 x + 5)/(( x - 1 )^2 ( x - 2 )) d x = int (5)/(( x - 1 )^2) d x + int (4)/(( x - 1 )) d x + int (1)/(( x - 2 )) d x

Ficou fácil agora, basta resolver as integrais, que são bem simples.

int (5 x^2 - 11 x + 5)/(( x - 1 )^2 ( x - 2 )) d x = 1 // ( 1 - x ) + 3 l n | - 2 + x | + 2 l n | - 1 + x |

Resposta

int (5 x^2 - 11 x + 5)/(x^3 - 4 x^2 + 5 x - 2) d x = 1 // ( 1 - x ) + 3 l n | - 2 + x | + 2 l n | - 1 + x | + c

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Faça uma substituição para expressar o integrando como uma racional função e, em seguida, avalie a integral. ∫ d x 1 + x 2
Avalie a integral. ∫ 5 x 4 + 7 x 2 + x + 2 x x 2 + 1 2 d x
Avalie a integral. ∫ x 3 + 6 x - 2 x 4 + 6 x 2 d x
Avalie a integral.int (x^3 + 4 x + 3)/(x^4 + 5 x^2 + 4) d x
Avalie a integral. ∫ 1 2 3 x 2 + 6 x + 2 x 2 + 3 x + 2 d x