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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.1 - Ex. 20

Calcule a integral.

int x tan^2 x d x

Passo 1

Opa! Nesse exercício iremos resolver a seguinte integral:

int x tan^2 x d x

Não é uma integral tão banal de resolver, então vamos precisar usar um método de integração! Mas antes disso vamos usar a seguinte identidade trigonométrica:

tan^2 x = sec^2 x - 1

Então temos:

int x (sec^2 x - 1) d x

int x sec^2 x d x - int x d x

Vamos focar na primeira integral! Para integrar por partes temos:

int u d v = (u v) - int v d u

Para escolher o u usamos a seguinte ordem de prioridade:

Na nossa integral a gente tem uma parte algébrica e uma trigonométrica. Pela ordem de prioridade teremos:

u = x

d v = sec^2 x d x

Passo 2

Precisamos calcular d u e v pra montar a integral. Então:

(d u)/(d x) = 1

int d v = int sec^2 x d x

A derivada de tan x é sec^2 x , então:

v = tan x

Montando a integral:

x tan x - int tan x d x

Passo 3

Agora a gente integra:

int tan x d x

Lembrando que:

tan x = (sin x)/(cos x)

Então:

int (sin x)/(cos x) d x

Por substituição simples:

u = cos x

(d u)/(d x) = - sin x

Então:

- int (1)/(u) d u = - ln |u| + C = - ln |cos x| + C

Ficamos com:

int x sec^2 x d x = x tan x + ln |cos x| + C

Passo 4

Lembrando que a nossa integral era:

int x sec^2 x d x - int x d x

Temos que:

int x d x = (x^2)/(2) + C

Juntando tudo:

int x tan^2 x d x = x tan x + ln |cos x| - (x^2)/(2) + C

Prontinho!

Resposta

int x tan^2 x d x = x tan x + ln |cos x| - (x^2)/(2) + C

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