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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.1 - Ex. 23

Calcule a integral.

int_0^((1)/(2)) x cos pi x d x

Passo 1

Opa, a gente deve calcular a seguinte integral:

int_0^((1)/(2)) x cos pi x d x

Para isso, devemos utilizar a integração por partes, que é dada da seguinte forma:

int u d v = u v - int v d u

Pessoal, vamos lembrar as prioridades para a substituição de u .

Usamos seguimos a ordem do famoso principio LIATE, que quer dizer:

Neste exercício, temos uma parte algébrica e uma trigonométrica. Então diremos que:

u = x

d v = cos pi x d x

Passo 2

Agora precisamos de achar d u e v :

(d u)/(d x) = 1

int d v = int cos pi x d x

Vamos integrar usando substituição simples:

z = pi x

(d z)/(d x) = pi

Ficamos com:

int cos pi x d x = int (cos u)/(pi) d u = (sin pi x)/(pi)

Lembrando que a nossa integral é definida, então:

v = [(sin pi x)/(pi)]_0^(1 // 2)

Montando a integral:

int_0^((1)/(2)) x cos pi x d x = x [(sin pi x)/(pi)]_0^(1 // 2) - int_0^(1 // 2) (sin pi x)/(pi) d x

Passo 3

Agora a gente integra:

(1)/(pi) int_0^(1 // 2) sin pi x d x

Usamos substituição de novo:

z = pi x

(d z)/(d x) = pi

Ficamos com:

(1)/(pi) int (sin u)/(pi) d u = - (cos u)/(pi^2) = - (cos pi x)/(pi^2)

= - [(cos pi x)/(pi^2)]_0^(1 // 2)

Passo 4

Então temos:

int_0^((1)/(2)) x cos pi x d x = x [(sin pi x)/(pi)]_0^(1 // 2) + [(cos pi x)/(pi^2)]_0^(1 // 2)

= (1)/(2 pi) - 0 + (1)/(pi) [(1)/(pi) cos pi x]_0^(1 // 2)

= (1)/(2 pi) + (1)/(pi^2) (0 - 1)

= (1)/(2 pi) - (1)/(pi^2)

Prontinho!!!

Resposta

(1)/(2 pi) - (1)/(pi^2)

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Esboce o gráfico de F (x) = int_(- oo)^x f (t) d t ondef (t) = {[[0,s,e,,|t|,,1],[1,-,t^2,s,e,,|t|,=,1]])
Esboce o gráfico de F (x) = int_(- oo)^x f (t) d t ondef (t) = {[[t,s,e,,0,=,t,=,1],[(1)/(t),s,e,,t,,1],[0,s,e,,t,,0]])
1-10. Esboce o gráfico de F (x) = int_(- oo)^x f ( t ) d t onde3. f (t) = {[[(1)/(t) , s e t = 1],[0 , s e t1]])
1-10. Esboce o gráfico de F (x) = int_(- oo)^x f ( t ) d t onde1. f (t) = {[[2 , s e |t| = 1],[0 , s e |t|1]])
Esboce o gráfico de F (x) = int_(- oo)^x f (t) d t ondef (t) = e^(- |t|)