Calcule a integral.

∫ 0 1 2 x cos ⁡ π x   d x

Passo 1

Opa, a gente deve calcular a seguinte integral:

∫ 0 1 2 x cos ⁡ π x   d x

Para isso, devemos utilizar a integração por partes, que é dada da seguinte forma:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Pessoal, vamos lembrar as prioridades para a substituição de u .

Usamos seguimos a ordem do famoso principio LIATE, que quer dizer:

Neste exercício, temos uma parte algébrica e uma trigonométrica. Então diremos que:

u = x

d v = cos ⁡ π x   d x

Passo 2

Agora precisamos de achar d u e v :

d u d x = 1

∫ d v = ∫ cos ⁡ π x   d x

Vamos integrar usando substituição simples:

z = π x

d z d x = π

Ficamos com:

∫ cos ⁡ π x   d x = ∫ cos ⁡ u π d u = sin ⁡ π x π

Lembrando que a nossa integral é definida, então:

v = sin ⁡ π x π 0 1 / 2

Montando a integral:

∫ 0 1 2 x cos ⁡ π x   d x = x sin ⁡ π x π 0 1 / 2 - ∫ 0 1 / 2 sin ⁡ π x π   d x

Passo 3

Agora a gente integra:

1 π ∫ 0 1 / 2 sin ⁡ π x   d x

Usamos substituição de novo:

z = π x

d z d x = π

Ficamos com:

1 π ∫ sin ⁡ u π   d u = - cos ⁡ u π 2 = - cos ⁡ π x π 2

= - cos ⁡ π x π 2 0 1 / 2

Passo 4

Então temos:

∫ 0 1 2 x cos ⁡ π x   d x = x sin ⁡ π x π 0 1 / 2 + cos ⁡ π x π 2 0 1 / 2

= 1 2 π - 0 + 1 π 1 π cos ⁡ π x 0 1 / 2

= 1 2 π + 1 π 2 0 - 1

= 1 2 π - 1 π 2

Prontinho!!!

Resposta

1 2 π - 1 π 2

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