Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 29
Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê.
Passo 1
Selvaaaaaaaaaa galerinha, isso mesmo selva haha, tudo certinho??
“Hulk esmaga”, Bora esmagar essa questãozinha comigo?
A questão pede para encontrar o limite da função
quando se aproxima de .
Para encontrar o limite de função dada quando tende a , podemos usar a Regra de L'Hôpital se encontrarmos uma forma indeterminada do tipo ou .
A Regra de L'Hôpital diz que, se temos uma forma indeterminada ou ao calcular o limite de
Podemos substituir o cálculo pelo limite de
Onde são as derivadas de, respectivamente.
Além disso, podemos considerar usar métodos elementares, como a expansão em série de Taylor, para funções próximas de 0.
Passo 2
Vamos verificar se a função
É uma forma indeterminada quando tende a
Primeiro, lembremos das definições e propriedades das funções tangente hiperbólica e tangente
Onde
São, respectivamente, o seno hiperbólico e o cosseno hiperbólico.
Onde
São, respectivamente, o seno e o cosseno.
Passo 3
Expansões em série de Taylor
Vamos expandir as funções e em séries de Taylor ao redor de
Para
Para
Vamos substituir essas expansões na função original
Para simplificar, podemos dividir numerador e denominador por
Para os termos se tornam insignificantes, então:
Passo 4
Portanto,
Conclusão
O limite de
quando tende a
Usamos a série de Taylor para uma solução mais elementar.
Não foi necessário aplicar a Regra de L'Hôpital, pois conseguimos simplificar diretamente.
“OK, isso foi legal.”
