Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê.

lim x → 0 ⁡ t an h ⁡ x t an ⁡ x

Passo 1

Selvaaaaaaaaaa galerinha, isso mesmo selva haha, tudo certinho??

“Hulk esmaga”, Bora esmagar essa questãozinha comigo?

A questão pede para encontrar o limite da função

lim x → 0 ⁡ tanh ⁡ x tan ⁡ x

quando x se aproxima de 0 .

Para encontrar o limite de função dada quando x tende a 0 , podemos usar a Regra de L'Hôpital se encontrarmos uma forma indeterminada do tipo 0 / 0 ou ∞ / ∞ .

A Regra de L'Hôpital diz que, se temos uma forma indeterminada 0 / 0 ou ∞ / ∞ ao calcular o limite de

f x g x

Podemos substituir o cálculo pelo limite de

f ' x g ' x

Onde f ' x   e   g ' x são as derivadas de   f ( x )   e   g ( x ) , respectivamente.

Além disso, podemos considerar usar métodos elementares, como a expansão em série de Taylor, para funções próximas de 0.

Passo 2

Vamos verificar se a função

tanh ⁡ x tan ⁡ x

É uma forma indeterminada quando x tende a   0 .

Primeiro, lembremos das definições e propriedades das funções tangente hiperbólica tanh ⁡ ( x ) e tangente tan ⁡ ( x ) :

tanh ⁡ ( x ) = sinh ⁡ x cosh ⁡ x

Onde

sinh ⁡ ( x )             e           cosh ⁡ ( x )

São, respectivamente, o seno hiperbólico e o cosseno hiperbólico.

tan ⁡ x = sin ⁡ x cos ⁡ x

Onde

( s i n   x )                 e                   ( c o s   x )

São, respectivamente, o seno e o cosseno.

Passo 3

Expansões em série de Taylor

Vamos expandir as funções ( t a n h ⁡ x ) e ( tan ⁡ x ) em séries de Taylor ao redor de ( x   =   0 ) :

Para ( t a n h   x ) :

t a n h   ( x )   =   x   - x 3 3 + O x 5

Para ( t a n   x ) :

tan ⁡ x =   x + x 3 3 + O x 5

Vamos substituir essas expansões na função original

tanh ⁡ x tan ⁡ x

tanh ⁡ x tan ⁡ x =   x   - x 3 3 + O x 5   x + x 3 3 + O x 5

Para simplificar, podemos dividir numerador e denominador por x :

tanh ⁡ x tan ⁡ x =   1   - x 3 3 + O x 5   1 + - x 3 3 + O x 5

Para ( x →   0 ) , os termos O x 4   se tornam insignificantes, então:

  1   - x 3 3   1 + - x 3 3 ≈ 1

Passo 4

Portanto,

lim x → 0 ⁡ tanh ⁡ x tan ⁡ x = 1

Conclusão

O limite de

tanh ⁡ x tan ⁡ x

quando x   tende a 0   é   1 .  

Usamos a série de Taylor para uma solução mais elementar.

Não foi necessário aplicar a Regra de L'Hôpital, pois conseguimos simplificar diretamente.

“OK, isso foi legal.”

Resposta

lim x → 0 ⁡ tanh ⁡ x tan ⁡ x = 1

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