Esboce o gráfico de

F x = ∫ - ∞ x f t   d t

onde

f(t) = e^(-|t|)

Passo 1

A função módulo é definida por

t = t - t   s e   t ≥ 0 s e   t < 0

Então podemos reescrever a função f ( t ) como sendo

f t = e - t e t   s e   t ≥ 0 s e   t < 0

Vamos olhar para f ( x ) graficamente

Podemos separar então a nossa função F ( x ) em duas etapas, para x < 0 e x ≥ 0 . Essa separação se deve pela própria separação da função f ( t ) .

Passo 2

Então vamos analisar cada etapa:

Se x < 0

F x = ∫ - ∞ x f t   d t = ∫ - ∞ x e t   d t

= lim A → - ∞ ⁡ ∫ A x e t   d t = lim A → - ∞ ⁡ e t A x

= lim A → - ∞ ⁡ e x - e A = e x

De forma análoga, se x → 0

∫ - ∞ 0 e t   d t = e 0 = 1

Se x ≥ 0

F x = ∫ - ∞ x f t   d t = ∫ - ∞ 0 e t   d t + ∫ 0 x e - t   d t

= 1 + - e - t 0 x = 1 + - e - x + e 0

= 1 - e - x + 1 = 2 - e - x

Podemos então definir a função como

F x = 2 - e - x e x   s e   x ≥ 0 s e   x < 0

Passo 3

Vamos então esboçar o gráfico de F ( x ) no plano:

Resposta

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