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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.2 - Ex. 6

Esboce o gráfico de

F (x) = int_(- oo)^x f (t) d t

onde

f (t) = e^(- |t|)

Passo 1

A função módulo é definida por

|t| = {[[t],[- t]] (s e t >= 0)/(s e t < 0))

Então podemos reescrever a função f ( t ) como sendo

f (t) = {[[e^(- t)],[e^t]] (s e t >= 0)/(s e t < 0))

Vamos olhar para f ( x ) graficamente

Podemos separar então a nossa função F ( x ) em duas etapas, para x < 0 e x >= 0 . Essa separação se deve pela própria separação da função f ( t ) .

Passo 2

Então vamos analisar cada etapa:

Se x < 0

F (x) = int_(- oo)^x f (t) d t = int_(- oo)^x e^t d t

= underset(A -> - oo)(lim) int_A^x e^t d t = underset(A -> - oo)(lim) [e^t]_A^x

= underset(A -> - oo)(lim) [e^x - e^A] = e^x

De forma análoga, se x -> 0

int_(- oo)^0 e^t d t = e^0 = 1

Se x >= 0

F (x) = int_(- oo)^x f (t) d t = int_(- oo)^0 e^t d t + int_0^x e^(- t) d t

= 1 + [- e^(- t)]_0^x = 1 + [- e^(- x) + e^0]

= 1 - e^(- x) + 1 = 2 - e^(- x)

Podemos então definir a função como

F (x) = {[[2 - e^(- x)],[e^x]] (s e x >= 0)/(s e x < 0))

Passo 3

Vamos então esboçar o gráfico de F ( x ) no plano:

Resposta

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