Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.2 - Ex. 37

Calcule a integral.

∫ 0 1 1 t + 1 i + 1 t 2 + 1 j + 2 t t 2 + 1 k d t

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Esta questão é bem simples.

A questão pede para calcular a integral de linha da função.

∫ 0 1 1 t + 1 i + 1 t 2 + 1 j + 2 t t 2 + 1 k d t

Temos que resolver de forma individual cada integral, utilizando algumas regras de integração quando necessário.

Vamos começar?

Passo 2

Note que podemos escrever a integral do enunciado da seguinte maneira:

∫ 0 1 1 t + 1 i + 1 t 2 + 1 j + 2 t t 2 + 1 k d t

Separando as integrais para resolvermos separadamente

= ∫ 0 1 1 t + 1 d t i + ∫ 0 1 1 t 2 + 1 d t j + ∫ 0 1 2 t t 2 + 1 d t k

Passo 3

Calculando cada uma, temos:

∫ 0 1 1 t + 1 d t i = l n l n   t + 1   i 0 1

Substituindo os limites de integração

= l n l n   1 + 1   - l n l n   0 + 1   i

= l n l n   2   - l n l n   1   i

Como l n   1   = 0 , temos que

∫ 0 1 1 t + 1 d t i = l n   2   i

Passo 4

Para calcular ∫ 0 1 1 t 2 + 1 d t j , temos que ter ciência da relação:

∫ 0 1 1 x 2 + a 2 d x = 1 a x a  

Para o nosso caso, temos que a = 1 e x = t , logo:

∫ 0 1 1 t 2 + 1 d t j = t 1   j 0 1

= 1 1   - 0 1   j

Substituindo os limites de integração

∫ 0 1 1 t 2 + 1 d t j = π 4 j

Passo 5

Para a integral ∫ 0 1 2 t t 2 + 1 d t k , temos que utilizar o método da substituição. Vamos chamar:

t 2 + 1 = u

Logo: d u = 2 t d t e 2 t d t = d u

Analisando os intervalos, temos:

t = 0 → u = 1

t = 1 → u = 2

Substituindo, temos:

∫ 0 1 2 t t 2 + 1 d t k = ∫ 1 2 1 u d u k

Resolvendo, temos que:

∫ 0 1 t t 2 + 1 d t k = ∫ 1 2 1 u d u k = l n l n   u   k 1 2

Substituindo os limites de integração

= l n   2   - l n   1   k

Como l n   1   = 0 , temos que:

∫ 0 1 t t 2 + 1 d t k = l n   2   k

Passo 6

Logo, a nossa resposta para a integral será:

∫ 0 1 1 t + 1 i + 1 t 2 + 1 j + t t 2 + 1 k d t = l n   2   i + π 4 j + l n   2   k

Repara que a resposta tá diferente lá no final do livro. MUITO provavelmente é porque na versão do livro em inglês a integral de k é t t 2 + 1 ... Daí daria a resposta direitinho e igual à do final. Deve ser um errinho na hora de traduzir. =)

Resposta

∫ 0 1 1 t + 1 i + 1 t 2 + 1 j + t t 2 + 1 k d t = l n   2   i + π 4 j + l n   2   k

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam B = i → ,j → ,k → uma base ortonormal, u → = x ,y ,z B ≠ 0 → , α = a n gu → ,i → , β = a n g( u → ,j → ) e γ = a n gu → ,k → . Cada um dos números cos ⁡ α , cos ⁡ β , cos ⁡ γ chama-se cosseno di
São dadas as coordenadas de u → e v → em relação a uma base ortonormal fixada. Calcule, em radianos, a medida angular entre u → e v → . u → = - 1 ,1 ,1 e v → = ( 1 ,1 ,1 )
Sendo A B C D um tetraedro regular de aresta unitária, calcule A B → ⋅ D A → .
São dadas as coordenadas de u → e v → em relação a uma base ortonormal fixada. Calcule, em radianos, a medida angular entre u → e v → . u → = 3 2 , 1 2 ,0 e v → = 3 2 , 1 2 ,3
Os vetores não-nulos u → e v → são ortogonais, têm normas iguais, e w → é gerado por eles. Sabendo que w → ⋅ u → = w → ⋅ v → e que w → não é nulo, obtenha as medidas angulares entre u → e w → e entre