Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.2 - Ex. 24

Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado.

x = ln ⁡ t + 1 ,         y = t cos ⁡ 2 t         z = 2 t ; 0,0 , 1

Passo 1

Oi, pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A gente precisa encontrar as equações paramétricas de reta tangente a curva:

x = ln ⁡ t + 1 ,         y = t cos ⁡ 2 t         z = 2 t

No ponto:

0,0 , 1

A equação vetorial pode ser escrita como:

r t = x t ,   y t ,   z t

r t = ln ⁡ t + 1 , t cos ⁡ 2 t ,   2 t

Para que tenhamos a equação da reta tangente, precisamos de um vetor diretor e um ponto, o ponto a gente já tem, nos foi dado no enunciado, então precisamos ir atras do vetor diretor. Ele é encontrando derivando r ( t ) .

Passo 2

Vamos derivar r ( t ) com relação a t :

d d t r t = 1 t + 1 , cos ⁡ 2 t + t - 2 s e n   2 t , 2 t ln ⁡ 2

d d t r t = 1 t + 1 , cos ⁡ 2 t - 2 t s e n   2 t , 2 t ln ⁡ 2

O valor paramétrico que corresponde ao ponto 0,0 , 1 é quando t = 0 . Podemos descobrir isso substituindo o valor de alguma coordenada do ponto a sua respectiva equação paramétrica:

x = ln ⁡ t + 1

0 = ln ⁡ ( t + 1 )

e 0 = t + 1

t = 0

Agora vamos aplicar t = 0 :

d d t r 0 = 1 0 + 1 , cos ⁡ 2 ( 0 ) - 2 ( 0 ) s e n   2 ( 0 ) , 2 0 ln ⁡ 2

r ' 0 = 1,1 , ln ⁡ 2

Passo 3

A nossa função pode ser escrita como:

r = r 0 + t v

Onde:

r 0 = 0,0 , 1

v = r ' = 1,1 , ln ⁡ 2

Logo:

r = 0 ,   0 ,   1 + t 1,1 , ln ⁡ 2

r = 0 ,   0 ,   1 + t , t ,   t ln ⁡ 2

r = t ,   t ,   t ln ⁡ 2 + 1

Portanto, as equações paramétricas correspondentes serão:

r = < x t ,   y t ,   z t >

Sendo assim:

x t = t

y t = t

z t =   t ln ⁡ 2 + 1

Resposta

x t = t

y t = t

z t =   t ln ⁡ 2 + 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

a) Obtenha os vetores de norma 3 3 que são ortogonais a u → = ( 2 ,3 ,- 1 ) e a v → = ( 2 ,- 4 ,6 ) .b) Qual dos vetores obtidos no item (a) forma ângulo agudo com ( 1 ,0 ,0 ) ?
Descreva o conjunto de todos os vetores w → ortogonais a v → = ( 2 ,1 ,2 ) tais que u → = ( 1 ,1 ,- 1 ) seja combinação linear de v → , w → .
Dados v → = ( 1 ,1 ,1 ) , w → = 0 ,1 ,- 1 e t → = ( 2 ,1 ,- 1 ) , obtenha u → de norma de 5 , ortogonal a t → , tal que ( u → ,v → ,w → ) seja LD.
Obtenha a tripla de coordenadas do vetor que tem norma 3 , é ortogonal a ( 1 ,1 ,0 ) e a ( - 1 ,0 ,1 ) , e forma ângulo obtuso com ( 0 ,1 ,0 ) .
Determine x de modo que u → e v → sejam ortogonais.a) u → = ( x ,0 ,3 ) e v → = ( 1 ,x ,3 ) .b) u → = ( x ,x ,4 ) e v → = ( 4 ,x ,1 ) .c) u → = ( x + 1 ,1 ,2 ) e v → = ( x - 1 ,- 1 ,- 2 ) .d) u → = (