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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.1 - Ex. 5

Calcule a integral.

int r e^(r // 2) d r

Passo 1

Nesse exercício iremos resolver a seguinte integral:

int r e^(r // 2) d r

Pra fazer isso vamos fazer por partes, usando o seguinte

int u d v = (u v) - int v d u

Pessoal, vamos lembrar as prioridades para a substituição de u .

Usamos seguimos a ordem do famoso principio LIATE, que quer dizer:

L ogaritmo

I nversa

A lgebrica (polinomial)

T rigonometrica

E xponencial

Neste exercício, temos uma parte exponencial e uma polinomial. Então, por LIATE, vamos usar a polinomial para o valor de u .

u = r -> d u = d r

E o que sobrou

d v = e^(r // 2) d r -> v = 2 e^(r // 2)

Show! Agora vamos lá! 😉

Passo 2

Vamos derivar u :

u = r :.

d u = d r

Agora vamos integrar o d v :

d v = e^(r // 2) d r :.

int d v = int e^(r // 2) d r :.

v = 2 e^(r // 2)

Agora sim podemos aplicar na integração por partes!! 😉

Passo 3

Aplicando a integração por partes, temos:

int r e^(r // 2) d r = (r 2 e^(r // 2)) - int 2 e^(r // 2) d r

A última integral é tranquila de fazer também!

int e^(r // 2) d r = 2 e^(r // 2)

Voltando pra integral que o exercício pede

int r e^(r // 2) d r = 2 r e^(r // 2) - 2 ( 2 e^(r // 2) )

E pra finalizar, não esquece da constante C !

int r e^(r // 2) d r = 2 r e^(r // 2) - 4 e^(r // 2) + C

Show! Terminamos mais uma :D

Resposta

int r e^(r // 2) d r = 2 r e^(r // 2) - 4 e^(r // 2) + C

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