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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.1 - Ex. 28

Calcule a integral   ∫ ln ⁡ ( x + x 2 ) d x   usando uma substituição antes da integração por partes.

Passo 1

Resolveremos essa integral utilizando a integração por partes, para isso é preciso lembrar da fórmula:

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

Passo 2

Escolhemos o valor de “u” e de “dv”, sendo que “u” é o valor que será derivado e o de “dv” será integrado.

u   = ln ⁡ ( x + x 2 )  

pois é o valor mais simples de derivar

d u   =   ( ln ⁡ ( x + x 2 ) ) ’ .   d w

d u   =   1 x + x 2 . ( 1 + 2 x )   d w

d v   =     d w

v = ∫ 1   d w

v   =   x

Passo 3

Substituímos os valores encontrados na fórmula da integração por partes.

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

∫ ln ⁡ ( x + x 2 ) d x = x . ln ⁡ ( x + x 2 ) - ∫ x . ( 1 + 2 x ) x + x 2 . d x

= x . ln ⁡ ( x + x 2 ) - ∫ x . ( 1 + 2 x ) x ( 1 + x ) . d x

= x . ln ⁡ ( x + x 2 ) - ∫ 2 1 + x - 1 ( 1 + x ) . d x

= x . ln ⁡ ( x + x 2 ) - ∫ 2 1 + x 1 + x . d x - ∫ 1 ( 1 + x ) . d x

= x . ln ⁡ ( x + x 2 ) - 2 - ln ⁡ ( 1 + x )

= x . ln ⁡ ( x + x 2 ) - 2 + ln ⁡ 1 + x + c

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração)

Resposta

∫ ln ⁡ ( x + x 2 ) d x     = x . ln ⁡ ( x + x 2 ) - 2 + ln ⁡ 1 + x + c

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