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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.1 - Ex. 23

Calcule a integral int e^(2 x) . cos 3 x d x usando integração por partes

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral utilizemos a integração por partes, para isso é preciso lembrar da fórmula:

int u d v = u . v - int v d u

Passo 2

Escolhemos o valor de “u” e de “dv”, sendo que “u” é o valor que será derivado e o de “dv” será integrado.

u = c o s 3 x

Pois é o valor mais simples de derivar.

d u = ( cos 3 x ) ’ . d x

d u = - ( s e n 3 x ) . 3 d x

d v = e^(2 x) d x

v = int e^(2 x) d x

v = (1)/(2) e^(2 x)

Observe que para achar o valor de “v” usamos a fórmula: int e^(a x) d x = (1)/(a) . e^(a x)

Passo 3

Substituir os valores encontrados na fórmula da integração por partes.

int u d v = u . v - int v d u

int e^(2 x) . cos 3 x d x = (cos 3 x) . (1)/(2) . e^(2 x) - int (1)/(2) e^(2 x) . (- s e n 3 x) . 3 d x

= (1)/(2) . (cos 3 x) . e^(2 x) + (1)/(2) . 3 . int e^(2 x) . (s e n 3 x) d x

= (e^(2 x))/(2) . (cos 3 x) + (3)/(2) . int e^(2 x) . (s e n 3 x) d x

Para poder resolver int e^(2 x) . (s e n 3 x) d x utilizamos novamente o método da integração por partes:

w = s e n 3 x

d w = ( s e n 3 x ) ’

d w = (c o s 3 x) . 3 d x

d z = e^(2 x) . d x

d x z = int e^(2 x) d x

z = (1)/(2) e^(2 x)

int w d z = w . z - int z d w

int e^(2 x) . (s e n 3 x) d x = (s e n 3 x) . (1)/(2) . e^(2 x) - int (1)/(2) . e^(2 x) . (c o s 3 x) . 3 d x

= (e^(2 x))/(2) . (s e n 3 x) - (3)/(2) int e^(2 x) . (c o s 3 x) d x

Iremos substituir desse modo para facilitar os cálculos:

int e^(2 x) . cos 3 x d x = (e^(2 x))/(2) . (cos 3 x) + (3)/(2) . int e^(2 x) . (s e n 3 x) d x

int e^(2 x) . cos 3 x d x = (e^(2 x))/(2) . (cos 3 x) + (3)/(2) . ((e^(2 x))/(2) . (s e n 3 x) - (3)/(2) int e^(2 x) . (c o s 3 x) d x)

int e^(2 x) . cos 3 x d x = (e^(2 x))/(2) . (cos 3 x) + (3 e^(2 x))/(4) . (s e n 3 x) - (9)/(4) int e^(2 x) . (c o s 3 x) d x

int e^(2 x) . cos 3 x d x + (9)/(4) int e^(2 x) . (c o s 3 x) d x = (e^(2 x))/(2) . (cos 3 x) + (3 e^(2 x))/(4) . (s e n 3 x)

(13)/(4) . int e^(2 x) . cos 3 x d x = (e^(2 x))/(4) ( 2 cos 3 x + 3 s e n 3 x )

int e^(- y) . cos y d y = (e^(2 x) . ( 2 cos 3 x + 3 s e n 3 x ))/(13) + c

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração).

Resposta

int e^(- y) . cos y d y = (e^(2 x) . ( 2 cos 3 x + 3 s e n 3 x ))/(13) + c

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