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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.1 - Ex. 20

Calcule a integral int t^2 . e^(4 t) d t usando integração por partes

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral utilizemos a integração por partes, para isso é preciso lembrar da fórmula:

int u d v = u . v - int v d u

No entanto, caso haja repetições de integração por partes utilizamos uma maneira mais organizada e que facilita os cálculos, que é a integração tabular.

Passo 2

Separamos int t^2 . e^(4 t) d t em f(x) = t^2 e g(x) = e^(4 t) ,e seguida montamos a tabela:

f(X) e suas derivadas g(x) e suas integrais

Passo 3

Depois multiplicamos as funções ligadas e combinamos elas de acordo com os sinais das operações indicadas.

int t^2 . e^(4 t) d t = t^2 . (1)/(4) . e^(4 t) - 2 . t . (1)/(16) . e^(4 t) + 2 . (1)/(64) . e^(4 t)

= e^(4 t) ((t^2)/(4) - (2 . t)/(16) + (2)/(64))

= e^(4 t) ((t^2)/(4) - (t)/(8) + (1)/(32)) + c

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração)

Resposta

int t^2 . e^(4 t) d t = e^(4 t) ((t^2)/(4) - (t)/(8) + (1)/(32)) + c

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