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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.1 - Ex. 30

Calcule a integral   ∫ z . ( ln ⁡ z ) 2 d z   usando uma substituição antes da integração por partes.

Passo 1

Como o enunciado pede iremos aplicar primeiramente o método da substituição e em seguida resolvemos essa integral utilizando a integração por partes, para isso é preciso lembrar da fórmula:

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

No entanto, caso haja repetições de integração por partes utilizamos uma maneira mais organizada e que facilita os cálculos, que é a integração tabular.

Passo 2

Para poder resolver   ∫ z . ( ln ⁡ z ) 2 d z   utilizamos, inicialmente, o método da substituição:

u   = l n   z     logo z = e u

d u   =   ( ln ⁡ z ) ’ d z

d u   =   1 z   d z

d z = z   d u

d z = e u   d u

∫ z . ( ln ⁡ z ) 2 d z     =   ∫ e u . u 2 e u   d u

=   ∫ e 2 u . u 2   d u

Passo 3

Separamos ∫ e 2 u . u 2   d u em f(x) = u 2 e g(x) = e 2 u ,e seguida montamos a tabela:

f(X) e suas derivadas g(x) e suas integrais

Observe que para integrar g(x) foi utilizada a fórmula : ∫ e a x   d x =   1 a .   e a x

Passo 4

Depois multiplicamos as funções ligadas e combinamos elas de acordo com os sinais das operações indicadas.

∫ e 2 u . u 2   d u       = u 2 . 1 2 .   e 2 u - 2 . u . 1 4 .   e 2 u + 2 . 1 8 . e 2 u

=   e 2 u 1 2 . u 2 - 2 . u . 1 4 + 2 . 1 8

=   e 2 u 1 2 . u 2 - u . 1 2 + 1 4

=   1 4 . e 2 u 2 . u 2 - 2 . u + 1

Agora vamos substituir u   = l n   z     e z = e u

=   1 4 . e 2 u 2 . u 2 - 2 . u + 1

=   1 4 . z 2 2 . ln ⁡ z 2 - 2 . l n   z + 1 + c

= z 2 ln ⁡ z - ln ⁡ z 2 + C

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração)

Resposta

∫ z . ( ln ⁡ z ) 2 d z =   = z 2 ln ⁡ z - ln ⁡ z 2 + C

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