Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.1 - Ex. 12
Calcule a integral.
Passo 1
Nesse exercício iremos analisar a seguinte integral:
Como sabemos que essa seção do livro aborda integrais por partes, devemos primeiro nos lembrar da fórmula para integração por partes:
Agora, outra coisa muito importante é saber qual termo da integral em análise chamaremos de e qual será o , para isso, vamos sempre recorrer a uma regra básica para selecionar o termo , sendo que o será o restante da expressão. A regra diz que devemos seguir a seguinte ordem de funções para selecionar como :
Logarítma -> Inversa Trigonométrica -> Algébrica -> Trigonométrica -> Exponencial
Obedecendo essa regra, não perdemos tempo selecionando o errado, e resolvendo toda a integral para somente no final perceber que praticamente não saímos do lugar.
Passo 2
Então, para esse exercício, recorrendo a regrinha do passo 1, teremos:
Agora, calculando e :
Agora podemos substituir esses valores na fórmula da integração por partes:
Reescrevendo a expressão, temos:
Agora precisamos usar a técnica da substituição para resolver a integral que sobrou, fazendo:
Então substituindo esses valores na integral anterior:
E, resolvendo essa integral, temos:
Passo 3
Então substituindo o útlimo valor obtido no passo 2 na integral lá de cima, temos:
Voltando para , substituindo o resultado será: