Enunciado

Calcule a integral.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a seguinte integral:

int cos^(- 1) x d x

Como sabemos que essa seção do livro aborda integrais por partes, devemos primeiro nos lembrar da fórmula para integração por partes:

int u d v = u v - int v d u

Agora, outra coisa muito importante é saber qual termo da integral em análise chamaremos de u e qual será o d v , para isso, vamos sempre recorrer a uma regra básica para selecionar o termo u , sendo que o d v será o restante da expressão. A regra diz que devemos seguir a seguinte ordem de funções para selecionar como u :

Logarítma -> Inversa Trigonométrica -> Algébrica -> Trigonométrica -> Exponencial

Obedecendo essa regra, não perdemos tempo selecionando o u errado, e resolvendo toda a integral para somente no final perceber que praticamente não saímos do lugar.

Passo 2

Então, para esse exercício, recorrendo a regrinha do passo 1, teremos:

u = cos^(- 1) x ; d v = d x

Agora, calculando d u e v :

u = cos^(- 1) x -> d u = (- 1)/(sqrt(1 - x^2)) d x

d v = d x -> v = x

Agora podemos substituir esses valores na fórmula da integração por partes:

int cos^(- 1) x d x = cos^(- 1) x (x) - int x (- (1)/(sqrt(1 - x^2))) d x

Reescrevendo a expressão, temos:

int cos^(- 1) x d x = x cos^(- 1) x + int ((x)/(sqrt(1 - x^2))) d x

Agora vamos precisar usar a técnica da subsituição para a segunda integral, fazendo:

t = 1 - x^2 -> d t = - 2 x d x -> x d x = - (d t)/(2)

Substituindo esses valores para a integral anterior, temos:

int ((x)/(sqrt(1 - x^2))) d x = int (1)/(sqrt(t)) (- (d t)/(2)) = - (1)/(2) int (d t)/(sqrt(t))

Agora, resolvendo essa integral, temos:

int ((x)/(sqrt(1 - x^2))) d x = - (1)/(2) (2 t^((1)/(2))) + C

Passo 3

Então resolvendo a integral obtida no passo 2, substituindo o valor obtido para a segunda integral no passo 2, temos:

int cos^(- 1) x d x = x cos^(- 1) x + int ((x)/(sqrt(1 - x^2))) d x

int cos^(- 1) x d x = x cos^(- 1) x - (1)/(2) (2 t^((1)/(2))) + C

Voltando para x , substituindo t = 1 - x^2 , o resultado será:

int cos^(- 1) x d x = x cos^(- 1) x - sqrt(1 - x^2) + C

Resposta

int cos^(- 1) x d x = x cos^(- 1) x - sqrt(1 - x^2) + C

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