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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.1 - Ex. 40

Calcule a integral   ∫ x 2 . s e n   x 3 d x   Algumas integrais não requerem integração por partes.

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral e afirma que nem todas as integrais são calculadas por meio de integração por partes. Nessa questão usaremos o método da substituição.

Passo 2

Vamos simplificar a equação usando substituição:

w = x 3

d w = ( x 3 ⁡ ) '   d x

d w = 3 x 2   d x

Multiplicamos por um valor neutro para que possa substituir por “dw”. É possível notar que 3 3 é o melhor número, pois é o mesmo que multiplicar por 1:

  ∫ x 2 . s e n   x 3 d x       =     3 3   ∫ x 2 . s e n   x 3 d x

=     1 3 ∫ 3 x 2 . s e n   x 3 d x

=     1 3 ∫ s e n   w d w

=     1 3 ( - cos ⁡ w )

Passo 3

Substituímos w = x 3

=     1 3 ( - cos ⁡ w )

=     1 3 ( - cos ⁡ x 3 )

=   - cos ⁡ x 3 3 + c

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração)

Resposta

∫ x 2 . s e n   x 3 d x       =   - cos ⁡ x 3 3 + c

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